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Nachricht |
Kaidan
Gast
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 Kaidan Verfasst am: 18. Nov 2016 18:04 Titel: Kreiszylinder |
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Folgende Aufgabe:
Die Dichte eines Kreiszylinders (Radius  , Höhe  ) nehme gemäss  = \rho_0 \left[1+ \left(\frac{r}{R}\right)^2 \right] ) mit dem Abstand  von der Figurenachse zu.
a) Wie gross ist sein Tragheitsmoment bei Rotationen um die Figurenachse, wenn  und  sind?
Nun habe ich folgendes gemacht:
So, dass mit dem integrieren hat der Asisstent uns so vorgerechnet, da wir das momentan noch gar nicht behandelt haben. Ich hoffe mal ich habe alles (bis auf die Grenzen) richtig abgeschrieben (bekomme die mit LaTex einfach nicht hin...). Ich kenne doch weder noch ... Habe ich die Aufgabe falsch verstanden, oder sehe einen Zusammenhang nicht?
Ich hoffe ihr könnt mir ein bisschen auf die Sprünge helfen.
besten Dank,
Kaidan |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5880
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 18. Nov 2016 18:52 Titel: |
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Wie können solche Aufgaben ohne Kentnisse der Integralrechnung gestellt werden?
r ist eine Variable, die von 0 bis R(gegeben) integriert wird
Wenn H nicht gegeben ist, kann J nicht berechnet werden.
^{2}) \cdot dr \cdot d\varphi \cdot dz)
\cdot 2\cdot \pi \cdot H)) )
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 19. Nov 2016 09:26, insgesamt einmal bearbeitet |
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Kaidan
Gast
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| Kaidan Verfasst am: 18. Nov 2016 19:56 Titel: |
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Nun zuerst einmal vielen Dank für die Antwort.
| Zitat: |
Wie können solche Aufgaben ohne Kentnisse der Integralrechnung gestellt werden?
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Das Integrieren an sich habe ich damit nicht gemeint, sondern viel eher den Umgang mit einem mehrdimensionalen Integralen und deren Brechung. Wieso man solche Fragen stellt, keine Ahnung, dass haben wir uns alle auch schon gefragt...
^2\right)\ dr \cdot d\varphi \cdot dz)
Den Schritt kann ich soweit nachvollziehen, leider sehe ich nicht ganz wie du auf das  kommst... Könntest du hier schnell drüberschauen und mir sagen wo mein Fehler ist? bzw. ob ich das überhaupt richtig gemacht habe?
^2\right)\ dr\right)\right)= \rho_0 \cdot \left( 2\pi H \left( \int_0^R r^3 \ dr + \int_0^R \frac{r^5}{R^2}\ dr\right)\right) =)
\right)= \rho_0 \cdot \left( 2\pi H \left( \frac{R^4}{4} + \frac{1}{R^2}\frac{R^6}{6}\right)\right)=
<br />
\rho_0 2\pi H \left( \frac{R^4}{4} + \frac{R^4}{6}\right)= \frac{5}{12}\rho_0 2\pi H R^4) |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 18. Nov 2016 21:38 Titel: |
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Die Symmetrie des Problems legt ein anschauliches Vorgehen nahe:
Man baut den Zylinder aus koaxialen dünnen Hohlzylindern gleicher Dichte auf, deren Trägheitsmoment
=dmr^2=\varrho (r) \cdot 2\pi r H \cdot r^2 dr{;}\ J=\int_0^R dJ(r)\cdots )
Zweitens bezieht man das Trägheitsmoment oft auf die Gesamtmasse M, die hier analog zu bestimmen wäre.
Nach meiner Rechnung  also nicht viel anders als der entsprechende homogene Vollzylinder. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 19. Nov 2016 00:25 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | ...
\cdot 2\cdot \pi \cdot H)))
... |
Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil der Klammerausdruck in der Klammer nicht stimmt. R^3 und R^4 lassen sich nicht addieren, da es sich um Größen unterschiedlicher Dimension handelt.
| franz hat Folgendes geschrieben: | ...
Nach meiner Rechnung also nicht viel anders als der entsprechende homogene Vollzylinder. |
Das Trägheitsmoment ist zwar richtig berechnet, ich verstehe nur nicht den danach folgenden Halbsatz. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 19. Nov 2016 00:40 Titel: |
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Danke für's Nachrechnen GvC!
Der hier besprochene inhomogene Zylinder hat bezüglich der Symmetrieachse ein Trägheitsmoment von 5/9 MR², ein äußerlich identischer homogener mit gleichem R, H und M liegt mit 1/2 MR² ziemlich nahe. Das hatte mich verblüfft und zu der Notiz veranlaßt. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 19. Nov 2016 01:04 Titel: |
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Ach so. Verstehe. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5880
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Nov 2016 09:27 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | ...
... |
Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil der Klammerausdruck in der Klammer nicht stimmt. R^3 und R^4 lassen sich nicht addieren, da es sich um Größen unterschiedlicher Dimension handelt. |
@GvC
Du hättest sofort sehen können, dass sich um einen Tippfehler handelt.
KORREKTUR
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5880
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Nov 2016 09:32 Titel: |
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| Kaidan hat Folgendes geschrieben: | Nun zuerst einmal vielen Dank für die Antwort.
| Zitat: |
Wie können solche Aufgaben ohne Kentnisse der Integralrechnung gestellt werden?
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Das Integrieren an sich habe ich damit nicht gemeint, sondern viel eher den Umgang mit einem mehrdimensionalen Integralen und deren Brechung. Wieso man solche Fragen stellt, keine Ahnung, dass haben wir uns alle auch schon gefragt...
Den Schritt kann ich soweit nachvollziehen, leider sehe ich nicht ganz wie du auf das kommst... Könntest du hier schnell drüberschauen und mir sagen wo mein Fehler ist? bzw. ob ich das überhaupt richtig gemacht habe?
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Sorry, habe mich vertippt: Muss natürlich heissen. Habe es in meiner Antwort korrigiert.
Deine Rechnung ist richtig.
Mit
errechnet sich
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 19. Nov 2016 13:44 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | @GvC
Du hättest sofort sehen können, dass sich um einen Tippfehler handelt.
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Natürlich habe ich das gesehen. Hätte ich den Fehler deshalb nicht erwähnen sollen? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5880
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Nov 2016 13:47 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | @GvC
Du hättest sofort sehen können, dass sich um einen Tippfehler handelt.
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Natürlich habe ich das gesehen. Hätte ich den Fehler deshalb nicht erwähnen sollen? |
Natürlich. Aber Hinweis auf Tippfehler wäre einfach netter gewesen. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 19. Nov 2016 14:24 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Aber Hinweis auf Tippfehler wäre einfach netter gewesen. |
Da magst Du Recht haben. Andererseits kann man die jungen Schüler und Studenten, die hier Hilfe suchen, gar nicht häufig genug auf das wunderbare Werkzeug der Dimensionskontrolle hinweisen, das in den meisten Fällen - warum auch immer - nicht genutzt oder gar nicht erst erkannt wird. Dein Tippfehler war - wieder einmal - ein willkommener Anlass, diese einfache Kontrollmöglichkeit ins Bewusstsein zu heben. Tut mir leid, wenn ich damit Deine Gefühle verletzt habe. |
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