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Bewegungsgleichung
 
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verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 18:11    Titel: Bewegungsgleichung Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Diesmal habe ich folgende Aufgabe:

Ein Teilchen der Masse m kann sich in zwei Dimensionen bewegen. Auf das Teilchen wirken zwei Arten von Kräften: Ein zeitunabhäniges Kraftfeld



und eine zeitabhänige Kraft



(a) Stellen Sie die Newton'sche Bewegungsgleichung des Teilchens auf.
(b) Leiten Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung aus (a) her. Lösen Sie dazu zunächst den homogenen Teil und berechnen Sie dann eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Meine Ideen:
Die b sollte ich hinbekommen, wenn ich die a habe und bei der bin ich mir derzeit einfach noch unsicher...

Meiner Meinung nach müsste (a) folgendes sein:



Ist das so korrekt?
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 18:21    Titel: Re: Bewegungsgleichung Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:





Meine Ideen:
[...]



Bis hier hin sieht es gut aus. Du willst deine Ortskurve wissen, wobei die Einheitsvektoren deines zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystems sind. Deine Gleichung oben (Summe der Kräfte) kannst du als zwei DGLs aufschreiben - für jede Koordinate eine. Das sollst du in a) machen. Und in b) sollst du die beiden DGLs lösen.
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 18:49    Titel: Antworten mit Zitat

Ich versteh nicht so ganz wie das jetzt gemeint ist...

Lasse ich die Summer der Kräfte quasi stehen (ohne zu integrieren) und schreibe:



oder


und




in keinem dieser Ausdrücke sehe ich eine DGL..
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 18:55    Titel: Antworten mit Zitat

Setze in diese Gleichung:



in die rechte Seite mal die gegebenen Kräfte ein (als Spaltenvektoren) und die linke Seite schreibst du auch als Spaltenvektor. Was steht dann da?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 17. Aug 2014 18:59    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:

Ich versteh nicht so ganz wie das jetzt gemeint ist...

Welche physikalischen Größen werden denn von den Newtonschen Axiomen mit der Kraft in Beziehung gesetzt?
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 19:04    Titel: Re: Bewegungsgleichung Antworten mit Zitat

ich würde mal vermuten das hier:



dann hätte ich ja auch eine DGL und ich würde sagen, dass mein zweiter Ansatz richtig war.. grübelnd


Das m kürzt sich entsprechend noch überall raus..



EDIT:

also


und

-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 19:07    Titel: Antworten mit Zitat

Genau. Damit hast du in jeder Zeile eine DGL stehen - für jede Koordinate eine. Wenn du das noch rauskürzt und das ganze noch schöner als Gleichungssystem aufschreibst, hast du den Aufgabenteil a) erledigt.

In b) sollst du die beiden DGLs nun lösen:
Welche Ordnung haben die beiden DGLs? Sind sie homogen oder inhomogen?Und welche Lösungsverfahren kennst du denn für DGLs?

Edit:
verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:

EDIT:

also


und



Ja, das war prinzipiell nicht falsch (außer, dass am F der Vektorpfeil fehlt Augenzwinkern) - aber ich wollte, dass du die linke Seite noch über das Newtonsche Axiom korrekt ausschreibst und erkennst, dass du dann zwei DGLs hast. Das erschien mir als Spaltenvektor leichter für dich sichtbar, deswegen schrieb ich das so ... Augenzwinkern
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 19:24    Titel: Antworten mit Zitat

Seperation der Variablen,
Potenzreihenansatz,
Variation der Konstanten,
Dann noch so allgemeine Ansätze die man gern macht zB könnte vll die e-Funktion als Ansatz funktionieren (Euler Formel mit dem Imaginärteil)


Ich würde spontan sagen, dass es sich um eine homogene DGL zweiter Ordnung handelt.. daher sollte ich mit der Seperation der Variablen zurecht kommen...

grübelnd
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 19:29    Titel: Antworten mit Zitat

Gut. Dann kennst du zumindest alle Verfahren, die du brauchen könntest. Dann müssen wir uns nur nochmal genauer die beiden (!) DGLs anschauen. Wir haben ja:

1.)

2.)

Zweiter Ordnung sind sie beide, da hast du recht. Aber wann ist eine DGL homogen und wann ist sie inhomogen?
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 19:32    Titel: Antworten mit Zitat

gut.. die erste DGL ist inhomogen und die zweite homogen Big Laugh
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 19:34    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
gut.. die erste DGL ist inhomogen und die zweite homogen Big Laugh


Einverstanden. Und jetzt denkst du nochmal nach: Für DGLs welcher Ordnung verwendet man Separation der Variablen? Augenzwinkern
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 19:55    Titel: Antworten mit Zitat

okay.. ja daran hab ich noch gar nicht gedacht.. ich nehme dann natürlich als Lösungsverfahren die Variation der Konstanten Hammer

Vielen lieben Dank!!

Es scheint ja vom prinzip her gar nicht soo schwer zu sein smile
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 20:04    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
okay.. ja daran hab ich noch gar nicht gedacht.. ich nehme dann natürlich als Lösungsverfahren die Variation der Konstanten Hammer


Genau, zum finden der partikulärlösung nimmst du die Variation der Konstanten. Und wie löst du die homogene Gleichung?

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:

Es scheint ja vom prinzip her gar nicht soo schwer zu sein smile


Nein, ist es nicht. Man muss nur strukturiert vorgehen, dann ist das alles gut lösbar. smile
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 20:11    Titel: Antworten mit Zitat

eigentlich kann man die homogene lösung auch schon raten.. es muss ja der sein.. und wenn ich die allgemeine haben will eben
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 20:34    Titel: Antworten mit Zitat

So.. habe jetzt noch eine andere Lösung.
Ist diese hier genauso richtig?:



Diese habe ich nämlich mittels der "konstanten Koeffizienten" heraus bekommen..

Das ist natürlich die Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 20:46    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
So.. habe jetzt noch eine andere Lösung.
Ist diese hier genauso richtig?:



Diese habe ich nämlich mittels der "konstanten Koeffizienten" heraus bekommen..

Das ist natürlich die Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung


Genau. Obwohl mir nicht ganz klar ist, was du mit "mittels der konstante Koeffizienten" meinst, aber ich nehme an, dass du die e-Funktion als Ansatz gewählt hast. Die Lösung ist jedenfalls richtig für den homogenen Teil, wenn du mit das meinst.

Die beiden Gleichungen




die du vorgeschlagen hast, sind übrigens identisch. Das kannst du mit der Euler-Formel



auch zeigen.
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 20:51    Titel: Antworten mit Zitat

Oh, ich merke gerade - in deiner Lösung mit den Exponentialfunktionen fehlen die imaginären Einheiten in den Exponenten. Hast du die nur vergessen hinzuschreiben oder fehlen die in deinem Lösungsweg?
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 21:09    Titel: Antworten mit Zitat

Nein die fehlen bewusst....
aber wenn ich es ableite bekomme ich die richtige lösung.. grübelnd
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 21:15    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, wenn du es ableitest, bekommst du

Und wenn du das in die DGL einsetzt kommst du nicht auf Null, denn:



Schreib doch mal deinen Lösungsweg für den homogenen Teil der DGL auf:

verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 21:21    Titel: Antworten mit Zitat



Ansatz:

-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 21:26    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:




Und woher kommt das im Term , wenn dein Ansatz doch ist? smile
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 21:35    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab das Verfahren so kennengelernt.. auch unter der Bezeichnung konstanter Koeffizienten.. na gut.. scheint ja falsch zu sein..
dann ist der richtige Ansatz also mit der Eulerformel und dann stimmt alles? smile
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 21:39    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, nein. Dein Ansatz ist schon vollkommen in Ordnung. Du hast bloß beim Einsetzen einen Fehler gemacht. Der Ansatz ist doch:



Und wenn du das einsetzt in die DGL:



Was steht dann am Ende da? Nicht



Sondern?
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 21:45    Titel: Antworten mit Zitat

keine Ahnung... bin schon sehr müde vom ganzen Tag lernen.. Schläfer
Aber die Klausur ist schon so bald traurig
kannst du mir das nicht einfach so sagen und ich hab dann den "AHA"-Effekt...unglücklich




EDIT: das letzte k muss weg.. oder?
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 21:51    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
EDIT: das letzte k muss weg.. oder?


Ja, genau! Prost

Und dann steht als nächstes die quadratische Gleichung



Und wenn du die umstellst nach k und dann die Wurzel ziehst, kommst du auf:


verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 21:51    Titel: Antworten mit Zitat

DU BIST MEIN HELD Tanzen

bei sowas merkt man, dass es schon spät ist Big Laugh
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 21:55    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
bei sowas merkt man, dass es schon spät ist Big Laugh


Stimmt, vielleicht machst du besser morgen weiter. Big Laugh

Denn weitermachen musst du noch: Du hast jetzt zwar die Lösung für die y-DGL vollständig. Aber für die x-DGL hast du nur die Lösung des homogenen Teils, also:




Für die Gesamtlösung musst du nun noch eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL finden.


Zuletzt bearbeitet von -Christian- am 17. Aug 2014 21:57, insgesamt einmal bearbeitet
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 21:56    Titel: Antworten mit Zitat

und das schreit nach Seperation der Variablen smile
das werd ich aber noch versuchen heute und dann schlafen gehen.. wenn es gar nicht klappt geh ich sofort schlafen ... LOL Hammer
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 21:59    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
und das schreit nach Seperation der Variablen smile


Ich schrei gleich ... Big Laugh

Separation der Variablen ist doch für DGLs erster Ordnung. Um die partikuläre Lösung zu finden, kannst du zum Beispiel Variation der Konstanten nutzen - das hatten wir doch vorhin festgestellt. Augenzwinkern
verlorenerPhysiker



Anmeldungsdatum: 17.08.2014
Beiträge: 30

Beitrag verlorenerPhysiker Verfasst am: 17. Aug 2014 22:09    Titel: Antworten mit Zitat

Aaaaah ... ich meinte das richtige und hatte auch schon angefangen ich meinte natürlich die Variation der Konstanten.. Hammer Hammer Hammer

Ohje.. ich glaub ich mach das morgen weiter.. ich poste dann morgen früh meine Lösung.. vielen lieben Dank!!! Big Laugh Big Laugh
-Christian-



Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199

Beitrag -Christian- Verfasst am: 17. Aug 2014 22:10    Titel: Antworten mit Zitat

verlorenerPhysiker hat Folgendes geschrieben:
Aaaaah ... ich meinte das richtige und hatte auch schon angefangen ich meinte natürlich die Variation der Konstanten.. Hammer Hammer Hammer


Das beruhigt mich ... Big Laugh Viel Spaß noch und gute Nacht!
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