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max_doering
Anmeldungsdatum: 13.03.2011
Beiträge: 50
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 max_doering Verfasst am: 16. Jul 2014 19:10 Titel: Verträglichkeit von Noether-Theorem und Eichtransformationen |
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Hallo,
bin bei der Vorbereitung meiner mündlichen Prüfung (Theor. Mechanik und Quantenmechanik) auf ein Problem gestoßen:
Mechanische Eichtransformationen =\frac{d}{dt}F(q,t)) lassen die Euler-Lagrange-Gleichungen, invariant.
Das heißt, die beiden Lagrange-Funktionen
und
beschreiben das selbe physikalische System, weil
.. daher sollten aus beiden Lagrange-Funktionen die selben Erhaltungsgrößen für das System folgen (?)
Nun erhalte ich wegen der x-unabhängigket von L1 sofort Impulserhaltung.
Bei L2 geht dies wegen dem Störterm nicht. Definiere ich mir jetzt eine Symmetrietransformation
 \mapsto (x',t')=(x+\alpha,t))
so wird ,\dot x(\dot x'),t)=\frac{m}{2}\dot x'^2+2kx'\dot x'-2k\alpha \dot x'\neq L(x',\dot x',t'))
und ich kann daraus nach dem Noether-Theorem keine Impulserhaltung folgern.. Wo ist mein Impuls geblieben? 
Ich hoffe jemand von euch kennt sich da etwas besser aus. Bin für jeden Hinweis dankbar.
MfG.
Max |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 16. Jul 2014 21:42 Titel: |
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Schöne Frage 
1. Zuerstmal kannst Du leicht überprüfen, dass beide Lagrangefunktionen dieselben Bewegungsgleichungen liefern, nämlich m*x''=0. Impuls ist also jeweils erhalten.
2. Das Noethertheorem ist für beide Lagrangefunktionen anwendbar:
unter x -> y = x + a folgt für die Wirkung
 )
Für entsprechende Funktionen Lambda. Soweit also so gut. Jetzt machen wir alpha Zeitabhängig.
 + Q^0 \dot \alpha + \mathcal O (\alpha^2) \right))
Die Terme höherer Ordnung in alpha interessieren nicht, und Q ist einfach eine Funktion, die man ausrechnen kann. Durch partielle Integration folgt dann
 \frac{d}{dt}\left( Q^0 - \Lambda \right) + \dots )
Wenn x nun die Bewegungsgleichung efuellt, dann ist die Wirkung stationär und es folgt
 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad Q:=Q^0 - \Lambda = const.
<br />
)
Tada...die Noether-Ladung... |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 16. Jul 2014 23:31 Titel: |
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Das Noethertheorem macht ja auch nur Aussagen über Symmetrietransformationen, welche die Lagrangefunktion invariant lassen. Man kann es aber leicht erweitern auf solche, die die Wirkung und damit die Bewegungsgleichungen invariant lassen, indem man die Erhaltungsgröße
_{s=0} = \left. \frac{\partial L }{\partial \dot q} \frac{\dd \Phi^s (q)}{\dd s} \right\vert_{s = 0} - \frac{\partial }{\partial s} f(q, t, 0)) betrachtet,
sofern  = L (q, \dot q, t) + \frac{\dd}{\dd t} f(q(t), t, s)) (gemeint ist, dass die Kettenregel auf das erste Argument angewendet wird) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 16. Jul 2014 23:34 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Das Noethertheorem macht ja auch nur Aussagen über Symmetrietransformationen, welche die Lagrangefunktion invariant lassen. Man kann es aber leicht erweitern auf solche, die die Wirkung und damit die Bewegungsgleichungen invariant lassen, ... |
Das seh ich nicht so, i.a. wird die Verallgemeinerung als Noether-Theroem bezeichnet:
Transformationen die die Wirkung invariant lassen, führen zu Erhaltungsgrößen. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 16. Jul 2014 23:40 Titel: |
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Okay, das glaube ich dir, und ich will mich auch nicht über Namen streiten. Ich habe in der analytischen Mechanik die Erweiterung als "erweitertes Noethertheorem" kennengelernt, in Analysis haben wir dagegen gleich den allgemeinen Fall bewiesen und das "Satz von Emmy Noether" genannt. Fakt ist aber, dass einige sehr gute Lehrbücher nur die Variante, die die Lagrangefunktion invariant lässt, beweisen (darunter zum Beispiel der Scheck, oder der Arnol'd). Für mich klang der Thread so, als ob max_doering das, was ich einfach "Noethertheorem" genannt habe, anzuwenden versucht hat.
PS: Den allgemeinen Satz, der Eichinvarianz und Transformation der Zeit berücksichtigt, kann sich doch eh keiner merken.^^ (ich jedenfalls nicht)
PPS: Im Arnol'd bekommt man wenigstens eine Warnung, dass das nicht das selbe ist. |
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max_doering
Anmeldungsdatum: 13.03.2011
Beiträge: 50
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| max_doering Verfasst am: 17. Jul 2014 13:46 Titel: |
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also ich kannte das Noethertheorem bisher nur in der Form, dass Symmetrietransformationen, die die Lagrange-Funktion invariant lassen, so dass
=L(q(q',t),\dot q(q',\dot q',t),t)=L(q',\dot q',t))
so folgt daraus ein Erhaltungssatz... Scheinbar gibt es da noch eine Verallgemeinerung
Heißt das aber, dass das Noethertheorem in obiger Form nicht mehr zum erwarteten Erhaltungssatz führt? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 17. Jul 2014 14:38 Titel: |
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| max_doering hat Folgendes geschrieben: |
Heißt das aber, dass das Noethertheorem in obiger Form nicht mehr zum erwarteten Erhaltungssatz führt? |
Ja, es fehlt Dir einfach der Term, der von der Transformation der Lagrangefunktion kommt. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 17. Jul 2014 17:05 Titel: |
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| max_doering hat Folgendes geschrieben: | also ich kannte das Noethertheorem bisher nur in der Form, dass Symmetrietransformationen, die die Lagrange-Funktion invariant lassen, so dass
so folgt daraus ein Erhaltungssatz... Scheinbar gibt es da noch eine Verallgemeinerung
Heißt das aber, dass das Noethertheorem in obiger Form nicht mehr zum erwarteten Erhaltungssatz führt? |
Eichtransformationen lassen die Lagrangefunktion nicht invariant, also erzeugen sie keine Erhaltungsgrößen im Sinne der "einfachen Version" des Noethertheorems
}{\dd s} \vert_{s=0}) ,
welches für kontinuierliche Transformationen ) , die die Lagrangefunktion invariant invariant lassen, anwendbar ist.
Die Verallgemeinerung ist
 \frac{\dd \Psi^s }{\dd s} \vert_{s=0} - \frac{\partial f^s}{\partial s} \vert_{s=0}) ,
welche für kontinuierliche Transformationen des Koordinaten und der Zeit, die die Lagrangefunktion bis auf einen Eichterm invariant lassen, anwendbar ist. Emmy Noether scheint noch eine wesentlich allgemeinere Version für eine größere Klasse von Transformationen von mehrdimensionalen Funktionalen (also eine feldtheoretische Variante) bewiesen zu haben, wie ein Blick in die Originalveröffentlichung offenbart.
Jedenfalls ist das Noethertheorem da oben wirklich nur für Transformationen anwendbar, die die Lagrangefunktion nicht ändern. Nicht jede Symmetrie des Systems ist so eine Transformation. |
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max_doering
Anmeldungsdatum: 13.03.2011
Beiträge: 50
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| max_doering Verfasst am: 17. Jul 2014 17:26 Titel: |
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Danke für eure ausführlichen Antworten!
Um das ganze, so wie ich es verstanden, nochmal zusammenzufassen: Das Noethertheorem, in der Formulierung die besagt, dass kontinuierliche Transformationen, die die Lagrangefunktion invariant lassen Erhaltungssätze erzeugen, ist sozusagen ein "Spezialfall" einer allgemeineren Formulierung, die fordert, dass das Wirkungsintegral unter der Transformation invariant bleibt!?
Nun habe ich eine PDF gefunden, in der das Noethertheorem, scheinbar in der allgemeineren Fassung, aus der Forderung, dass die Wirkung invariant bleibt, hergeleitet wird.
Hier wird als Bedingung angegeben, dass
|_{\alpha =0}=0) (Gleichungen (5) & (6)... bei mir gilt dt=dt* )
Mein Problem bleibt aber weiterhin bestehen, denn:
|_{\alpha =0}=2k \dot x)
Die Wirkung bleibt doch aber Invariant! Das wird dadurch deutlich, dass beide Lagrange-Funktionen auf die gleichen Euler-Lagrange-Gleichungen schließen lassen.
Irgendwo denke ich falsch, aber mir ist nicht klar, wo! |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 17. Jul 2014 17:41 Titel: |
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Habe nur mal kurz drübergeschaut: Das ist zwar insofern allgemeiner, dass es Transformation der Zeit zulässt, aber keine Eichtransformationen.
Kann mich täuschen, aber jedenfalls habe ich die entsprechende Formel nicht gefunden. Leider weiß ich gerade auch keine frei zugängliche Quelle, wo das allgemein gemacht wird. In Weinberg/Lectures on Quantum Mechanics zum Beispiel, aber die entsprechenden Seiten sind leider nicht über Google Books zugänglich. In meinem Analysis-Skript zum Beispiel, aber das ist passwortgeschützt.
Könnte mir vorstellen, dass das im Fließbach gemacht (aber dort wird das Noether-Theorem leider in einer Weise behandelt, dass einem schlecht wird - wie auch vieles anderes).
Ist aber nicht so schwer hinzuzufügen.
EDIT: Im PDF wird gefordert, dass die Wirkung invariant bleibt. Aber eine Eichtransformation lässt auch die Wirkung nicht invariant (im Gegensatz zu einer Aussage von mir oben, die war einfach falsch). Eine Eichtransformation ändert die Wirkung um eine Konstante. Die Extremalbedingung und damit die Euler-Lagrange-Gleichung bleibt aber invariant. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 17. Jul 2014 18:20 Titel: |
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In dem PDF wird angenommen dass die Lagrangefunktion invariant ist unter der Transformation nicht die Wirkung (auch wenn die da was andres schreiben schreiben).
Im allgemeineren Fall kann Gleichung (6) noch eine totale Zeitableitung enthalten. Was genau in Deinem Beispiel auftaucht. |
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