Zeitentwicklung im Potentialtopf

J.T. Kirk · Gast

Meine Frage:
Moinmoin,

Ich habe ein Potential gegeben:

uns sonst immer Unendlich.

Und dann habe ich eine fiese Wellenfunktion gegeben, die ich erst zeichnen und normieren soll.

Und dann soll ich eine Zeitentwicklung angeben, samt Ortserwartungswert und Energieerwartungswert.

Meine Ideen:
Das Zeichnen geht recht flott von der Hand. Ich weiß leider nicht genau, wie man hier einen Graphen einfügt. Er ist jedenfalls etwas spitzer als ein normaler Sinusterm und hat an der Nulllinie Wendepunkte.

Schwerer wird es jedoch bei der Normierung:

Das löst auf meinem Gesicht doch große Fragezeichen aus...
Jemand ne Idee?

J.T. Kirk · Gast

Bei wikipedia habe ich dafür eine Formel gefunden. Demnach wäre:

Kann ich diese Formel einfach übernehmen, oder gibts da noch was zu beachten?

J.T. Kirk · Gast

Habe natürlich noch einen Fehler bei der Normierung drinne. Normiert muss die Funktion logischerweise über 0 bis a sein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Beliebige Potenzen und Produkte von Sinus und Cosinus integriert man, indem man die Winkelfunktionen mittels komplexer e-Funktionen darstellt, die Terme ausmultipliziert und die bekannte Integration der e-Funktionen verwendet.

J.T. Kirk · Gast

Okay, vielen lieben Dank schon mal. Das ist ja eine ganz schöne Rechnerei. Aber am Ende kommt man dann doch auf was vernünftiges. Und wie bekomme ich nun eine Zeitabhängigkeit da rein?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Nun, für die Zeitabhängigkeit musst du folgendes tun. Deine gegebene Wellenfunktion psi ist keine Eigenfunktion des Hamiltonoperators. Du musst diese zunächst in Eigenfunktionen u_n zerlegen:

Die Zeitabhängigkeit der Eigenfunktionen ist trivial; gemäß des Superpositionsprinzips gilt dann

Die wesentliche Aufgabe besteht nun darin, die Koeffizienten psi_n bzgl. der Eigenfunktionen u_n zu berechnen: