Elektrische Feldstärke in einem kugelförmigen Gebiet

mocx · Gast

In einem kugelförmigen Gebiet soll die elektrische Feldstärke ermittelt werden. Die Ladung -Q ist gleichförmig als Raumladung verteilt.

Ich hab das Gaußsche Gesetzt benutzt:

Nun wähl ich als Hüllfläche eine Kugel um das Gebiet herum, sodass die Hüllfläche mit den Äquipotenzialflächen übereinstimmt. Da die Vektoren E in die Richtung der Flächennormalen zeigen, geht das Skalarprodukt in das Produkt der Beträge über und ich ziehe E, weil sie auf den Niveaulinien konstant sind vor das Integral und summiere auf:

Mein Professor, hat einen komplett anderen Weg genommen, und ist auf:

gekommen. Kann es sein, dass er die Vektorpfeile vergessen hat?
Der Ausdruck:

ist doch der Richtungsvektor oder nicht?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Du hast nur das Feld am Rand des homogen geladenen, kugelförmigen Bereichs berechnet. Deshalb ist bei Dir einfach r=r0. Dein Prof hat aber das Feld an einer beliebigen Stelle innerhalb des kugelförmigen Raumbereichs berechnet.

Du darfst dann nicht die Gesamtladung als "in der Kugel" nehmen, sondern Du musst Dir eine Kugel um das Zentrum denken mit einem Radius r und die Ladung berücksichtigen, die innerhalb dieser Kugel liegt.
Wenn die Gesamtladung einer homogen geladenen Kugel mit Radius r0 Q ist und Du die Ladung innerhalb eines konzentrischen aber kleineren kugeförmigen Bereichesl mit Radius r haben willst, wie rechnest Du den aus?

Gruß
Marco

mocx · Gast

Ich kann die Ladungsdichte betrachten mit:

Der Verschiebungsfluss durch das Gebiet, entspricht der Ladung im inneren:

Jetzt kann ich für die Ladung q die obere Gleichung einsetzen und erhalte:

Wenn ich die obere Gleichung nun nach der Ladungsdichte auflöse und hier einsetze, erhalte ich:

Da

gilt, multipliziere ich noch mit 1 / epsilon und erhalte schließlich.

Was ich aber immer noch nicht versteh. Wieso nimm ich den Faktor

nicht als Radiusvektor an? Sonst hätte ich das ja auch mit dem Gaußschen Integralsatz machen können und wäre auf das gleiche gekommen grübelnd

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Um Deine letzte Frage zuerst zu beantworten: Der Prof. hat nicht den Feldstärkevektor, sondern, genau wie Du, nur den Betrag der Feldstärke bestimmt. Die Richtung ist sowieso bekannt, nämlich radial nach innen weisend (die Ladung ist ja als negativ gegeben). Hätte er den Feldstärkevektor bestimmt, hätte er noch den radialen Einheitsvektor

dazuschreiben müssen.

kann nicht ein Einheitsvektor sein, denn ein Einheitsvektor muss den Betrag 1 haben. r und r0 haben aber unterschiedliche Beträge. r0 ist der Radius des kugelförmigen homogenen Raumladungsgebietes (das hast Du vergessen, in der Aufgabenstellung zu erwähnen), während r irgendein Radius innerhalb des Raumladungsgebietes ist.

Um die Aufgabe richtig zu lösen, musst Du zwei Fälle sauber unterscheiden:

Fall 1: r < r0
Fall 2: r >= r0

Wenn man die von Dir vorgestellte Aufgabenstellung wörtlich nimmt, soll der Fall 2 gar nicht berechnet werden. Denn laut Aufgabenstellung sollst Du die Feldstärke in einem raumladungserfüllten Gebiet bestimmen, also nicht außerhalb.

Wenn Du als gedachte Hüllfläche eine Kugelfläche mit r<r0 wählst, dann wird von ihr die Ladung q eingeschlossen, die kleiner ist als Q. Du solltest also sauber zwischen der vorgegebenen Ladung -Q und der von einer kleineren Kugel eingeschlossenen Ladung q unterscheiden, was Du inhaltlich zwar richtig, aber - zumindest an einer Stelle - nicht konsequent gemacht hast.

Der Betrag der Feldstärke innerhalb des Raumladungsgebietes ist laut Gauß

Es ist jetzt also nur noch die Ladung q zu bestimmen und in die Formel einzusetzen. Diese Ladung ist

Die Raumladungsdichte

bestimmt sich aus der vorgegebenen Ladung Q (ich nehme mal nur den Betrag, da ich ja auch nur den Betrag der Feldstärke bestimmen will), die in einer Kugel mit Radius r0 homogen verteilt ist, also

Demzufolge ist die Ladung q

Eingesetzt in die Feldstärkegleichung ergibt sich

Da kürzt sich r² raus, und es bleibt übrig

was genau der Musterlösung entspricht. Es handelt sich, wie gesagt, um den Betrag der Feldstärke innerhalb des Raumladungsgebietes. Der Feldstärkevektor wäre dann, wie bereits gezeigt,

mocx · Gast

Vielen vielen Dank! Eine andere Frage im Zusammenhang mit der elektrischen Feldkonstante wurde in eigenes Thread verschoben.

mocx · Gast

Sorry GvC wenn ich diesen Thread nochmal ausgrabe. Bereite mich derzeit auf ne Klausur vor und irgendwie bin ich wieder durcheinander.

Ich hab ein kugelförmiges Gebiet mit einem Radius

.

Dadrin ist eine Ladung gleichförmig verteilt.

Du hattest damals geschrieben:

"Der Betrag der Feldstärke innerhalb des Raumladungsgebietes ist laut Gauß

Das hatte ich am Anfang des Threads auch gemacht und da hieß es, dass ich die Ladung am Rand des kugelförmigen Gebietes berechnet hab.

Ich hab das ganze nun so verstanden:

Ich lege mit dem gaußschen Gesetz:

oder in der Darstellung

ein Hüllfläche, entweder genau entlang der Berandung, oder in diesem kugelförmigen Gebiet, um die elektrische Feldstärke im Inneren zu bestimmen.

Nun leg ich die Hüllfläche im Inneren:

Meine Hüllfläche hat nun den Radius r. Das Volumen V ist dann doch das Volumen dieser Hüllfläche, richtig?

Dann wäre:

mit

Letztendlich komm ich auf die Darstellung, die du auch raus hattest:

Was ich nicht so wirklich begriffen habe ... vllt eine dumme Frage.

Wenn ich nun die elektrische Feldstärke außerhalb der Kugel (oder besser gesagt auf der Kugel) ermitteln will, wähle ich r = r0

Das ist aber nicht das gleiche wie:

Wir hatten auch eine Fallunterscheidung gemacht für innen und außen. Zu dieser Formel steht bei mir "außerhalb der Kugel".

Aber

und

sind doch komplett verschiedene Radien.

Irgendwo hab ich doch einen Denkfehler

grübelnd

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Das sind zwar unterschiedliche Radien, aber von einer Kugel mit r>r0 ist trotzdem nur die Ladung Q eingeschlossen, die sich innerhalb des kugelförmigen Gebietes mit r=r0 befindet.

mocx · Gast

Okay ...

sind denn meine Ausführungen "inhaltlich" korrekt? Das was mich auch noch geplagt hat: Welches Volumen ist das? Also ist es richtig, dass es das Volumen der Hüllfläche ist? Und die Dichte die Ladungsdichte im kugelförmigen Gebiet?

(Du merkst vllt, dass ich dieses Gesetz noch nicht so gut verstanden hab)

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

mocx · Gast

Ich hab nun alles verstanden, vielen Dank für deine Mühe!