RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Madelung-Konstante berechnen
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik
Autor Nachricht
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 29. Apr 2014 10:30    Titel: Madelung-Konstante berechnen Antworten mit Zitat

Hallo ihr Lieben,

ich habe ein Problem, wie ich die Madelung-Konstante berechnen soll:

Ein 2D-Ionenkristall (Gitterkonstanten a) mit Ionen der Ladung ±q: Betrachten sie zur Berechnung der Madelungkonstante ein Quadrat der Kantenlänge 2n∙a um ein zentrales positiv geladenes Ion (n sei eine ganze Zahl).

1. Berechne die Madelung-Konstante numerisch für n=1, n=3 und n=∞. Berücksichtigen sie dazu jeweils alle Ionen, die innerhalb des Quadrats oder auf dem Rand liegen. (Verwenden sie Mathematica von Wolfram Research).

2. Verwenden sie nun die Evjen-Methode (d.h. es werden nur die Anteile betrachtet, die innerhalb des Quadrates liegen) zur Berechnung der Madelung (für n=1 und n=3).

(Unten seht ihr ein Bild des Kristalls. Das gestrichelte Quadrat entspricht n=2)

Ich habe leider keinerlei Ansatz zur Berechnung dieser Konstanten. Könnt ihr mir helfen bei den beiden Methoden (PC und Evjen)?

Grüße
Sunny



Madelung.png
 Beschreibung:
Kirstall
 Dateigröße:  48.33 KB
 Angeschaut:  11884 mal

Madelung.png


jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 29. Apr 2014 10:34    Titel: Antworten mit Zitat

http://de.wikipedia.org/wiki/Madelung-Konstante#Berechnung_der_Madelung-Konstante_am_Beispiel_von_NaCl
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 29. Apr 2014 10:52    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die Antwort.
Ja, das habe ich auch gefunden. Frage ist nur, wie ich das in Mathematica eingebe?

Für die Evjen-Methode finde ich aber keine gescheite Anleitung...?

Grüße
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 29. Apr 2014 11:17    Titel: Antworten mit Zitat

Sag mir Deine Formel und ich sag Dir wie man sie in Mathematica eingibt.

Even auf S;30
http://www.phys.utk.edu/courses/Fall%202009/physics671/chapter1d.pdf

Irgendwie hab ich das Gefühl, Du möchtest, dass Dir jemand alles löst ...
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 29. Apr 2014 11:32    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, das möchte ich nicht. Ich will es nur verstehen. Tut mir leid, falls der Eindruck entstanden ist...

Bleiben wir mal bei 1:
Wieso wird bei Wiki das rote Ion (4), nicht eins mit 2? Es geht doch auch noch von den grünen mit 1 ab. Im Bild der Blaue Kreis zeigt das Ion, dessen Zuordnung ich nicht verstehe.

Außerdem stehe bei Wiki etwas von "Falscher Reihe". Welche Summationsvorschrift soll ich denn verwenden?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 29. Apr 2014 11:55    Titel: Antworten mit Zitat

Sunny94 hat Folgendes geschrieben:
Nein, das möchte ich nicht. Ich will es nur verstehen. Tut mir leid, falls der Eindruck entstanden ist...

Bleiben wir mal bei 1:
Wieso wird bei Wiki das rote Ion (4), nicht eins mit 2? Es geht doch auch noch von den grünen mit 1 ab. Im Bild der Blaue Kreis zeigt das Ion, dessen Zuordnung ich nicht verstehe.

Die sind nach Abstand zum zentralen Atom (0) geordnet.
Zitat:

Außerdem stehe bei Wiki etwas von "Falscher Reihe". Welche Summationsvorschrift soll ich denn verwenden?

Auch das steht da:
"Der „richtige“ Wert ergibt sich, indem über die Gitterpunkte innerhalb eines Würfels mit Kantenlänge 2n+1 summiert und der Grenzwert für n \to \infty gebildet wird"
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 29. Apr 2014 17:04    Titel: Antworten mit Zitat

Trotzdem weiß ich leider nicht, wie ich das machen soll...

Bei meinem Kristall ist dann folgendes (bezogen auf das Mittelatom):

1. direkte Nachbarn: 4 Atome (alle ausgefüllt), Abstand 1a
--> n=1

2. direkte Nachbarn: 4 Atome (alle unausgefüllt), Abstand \sqrt{2a^2}
---> n=2

3. direkte Nachbarn: 12 Atome (8 ausgefüllt, 4 unausgefüllt), Abstand ??

Und nun? Wie schreibe ich das in die richtige Summe? Da habe ich keine Ahnung...
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 29. Apr 2014 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

Steht doch alles hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Madelung-Konstante#Berechnung_der_Bindungsenergie_im_Gitter
Du musst nur noch einsetzen...
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 29. Apr 2014 17:20    Titel: Antworten mit Zitat

Da steht die Energie, ich will aber nur das \alpha, also die Madelung Konstante berechnen.

Da steht nichts, wie ich die berechnen kann.

Außerdem soll das ja dann unter 1 mit Mathematica berechnet werden. Also Mus ja irgendeine Summe eingetippt werden...
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 29. Apr 2014 17:27    Titel: Antworten mit Zitat

Sunny94 hat Folgendes geschrieben:
Da steht die Energie, ich will aber nur das \alpha, also die Madelung Konstante berechnen.

Da steht nichts, wie ich die berechnen kann.

Die Eigenleistung E_IG durch E_IP zu teilen wird da wohl vorausgesetzt...

PS: Es sind übrigens Einwände wie dieser von Dir, die mich zweifeln lassen, dass Du selber nachdenken willst...
Dr.Sheldon.Cooper



Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49

Beitrag Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 02:10    Titel: .... Antworten mit Zitat

Also das mit Evjen würde so gehen, dass du wie du oben schon gezeigt hast so ein Quadrat bildest.

Dann musst du beachten, dass du z.b. für den ersten Schritt folgendes machst:

Du hast 4 Randatome. Sie tragen je zu 1/4 bei (grob gesprochen, weil sie nur 1/4 von dessen "Ladungsfläche" (pardon für diesen Ausdruck) innerhalb des Rechtecks liegt) Für die anderen Randatome dazwischen gilt dementsprechen 1/2. Alle anderen Atome, dessen gesamte Oberflächen, sich innerhalb des Rechtecks befinden, werden als ganze Ladung gewertet. Nun musst du nur noch abzählen und das ganze mit dem inversen Abstand wichten (also dem vielfachem von R_0). Es muss dimensionslos bleiben.

Wenn du dann das nächste Rechteck betrachtest ist es natürlich so, dass du die Randatome (die zuvor nur mit 1/4 *4) eingeflossen sind nun als ganzes werten musst. Selbiges gilt für die die als 1/2 eingeflossen sind.

Das wars.

Den allgemeinen Ausdruck für die Madelung Konstante kennst du ja oder ? Summe über negative Ladung / inversen Abstand der entsprechenden Ladung. Wie gesagt, pass darauf auf, dass du immer die Randladungen anteilig nimmst. An den Ecken 1/4 an den Seitenlängen 1/2. Die anderen Hälften liegen nicht innerhalb des Rechtecks.

Gruß Sheldon
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 03. Mai 2014 09:20    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

danke für die Antwort. Das mit der Evjen-Methode habe ich verstanden. Das klappte nun.

Leider ist mir das mit der allgemeinen Form noch nicht so ganz klar.

Du sagst ja:



Aber wie sieht das genau für dieses Beispiel aus?
Dr.Sheldon.Cooper



Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49

Beitrag Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 09:42    Titel: .... Antworten mit Zitat

Naja damit wäre die Sache nicht dimensionslos.

Ich versuchs dir mal für n=1 und n=2 zu erklären. Halte mich dabei an die Grafik auf Seite 1.
Ich verwende statt deinem r ein p. Wobei folgendes gilt:

p ist somit einfach ein vielfaches von deinem Gitterabstand a.

Womit ich dann für die Madelung Konstante schreibe:



wobei k über alle Ionen läuft, die sich innerhalb des quadratischen Schemas befinden. Wie du siehst ist somit die Madelungkonstante dimensionslos. Im von dir genannten Fall ist sie das nicht, da das a miteinfließt.

So nun der Fall n=1.

Die 4 Eckionen sind nur mit der Fläche von 1/4 innerhalb des 1. Quadrats. Die Seiten zu 1/2.

Die relevanten Abständen sind jeweils 1 für die negativen Ionen und Wurzel 2 für die Positiven.

Damit folgt für die Madelungkonstante bei n=1:



Ich hab das nun so ausführlich geschrieben, dass du genau siehst, woher was kommt.
Die erste Zahl steht immer für die Anzahl der Ionen. Die zweite Zahl für diese Zahl p. Die dritte Zahl für den Anteil. Die negativen Ionen 1/2. Die positiven Eckionen 1/4.

Für n=2 kannst du das nun analog durchführen. Wobei sich nun die inneren Eckionen bzw. Randionen vollständig im Quadrat liegen. Damit wird das 1/2 bzw. 1/4 schließlich zu 1. Für die äußeren Ionen musst du das natürlich dann wieder berücksichtigen. Die haben aber nun natürlich andere p's, weil sie weiter draussen liegen.

P.s. q ist im übrigen auch keine Ladung sondern nur das vielfache einer von dir definierten Ladung. Z.b. der Elementarladung.
Wenn du dann in die Gleichung für die Bindungsenergie deine Madelungkonstante einbindest, definierst du ja dann in der Formel für die Bindungsenergie diese Ladung bzw. den Abstand. Die tauchen dann in der Formel natürlich auf Big Laugh. Aber die Madelung-Konstante ist lediglich eine Zahl. Ohne Einheiten.

Gruß Sheldon
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 03. Mai 2014 11:10    Titel: Antworten mit Zitat

Ah, danke sehr. Nun ist es verstanden!
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Quantenphysik