Schwingungsgleichung: Differentialgleichung

Skyray · Anmeldungsdatum: 28.02.2014 Beiträge: 18

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Hey ihr.
Ich habe eine Frage zwecks den Randbedingungen zu der oberen DGL.
Da x(0) ja 0 ist, muss B=0 sein, da Cosinus an der Stelle 1 ist. --> =0
Bei x´(0) das gleiche nur mit Sinus.

Wie kommt das Einsetzen nun zu Stande und warum so?

LG

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Kannst du bitte die Frage präziser formulieren? Entschuldigung, aber ich verstehe wirklich nicht, was du meinst.

Bzw. evtl. wird die Frage ja dadurch beantwortet, dass für t Null eingesetzt wird...

Skyray · Anmeldungsdatum: 28.02.2014 Beiträge: 18

Beim Einsetzen meine ich den Schritt nach der Randbedingung.
Und warum genau sind die Randbedingungen so gewählt? Ich denke mal, damit der Term 0 wird oder?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ja, damit der Term null wird. Big Laugh

Ja, das ist natürlich ein pädagogischer Grund, aber du solltest so darüber denken, dass ein konkretes Problem gelöst wird. Die Randbedingungen entsprechen diesem Problem. Nimm an, du lenkst den Körper an einer Feder um

aus und lässt ihn dann einfach los, ohne ihn dabei zu bewegen. Dann hast du eben diese Randbedingungen. Du kannst auch andere Randbedingungen wählen, wenn du ein anderes Problem betrachtest. Aber dann werden eben die Terme nicht null. Big Laugh

Im Ernst: Die Randbedingungen sind vom konkreten Problem abhängig. Eine Differentialgleichung beschreibt immer eine Klasse von Problemen, erst durch die Wahl der Randbedingungen wird man konkret.

Skyray · Anmeldungsdatum: 28.02.2014 Beiträge: 18

WIe komme ich denn nun beim Schritt einsetzen auf die Gleichung?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich kommentiere mal zeilenweise:

1. Das ist der Ansatz. 2. und 3. folgen durch Differenzieren.
4. und 5. sind die Randbedingungen, die du zunächst akzeptieren solltest. Ist dir erstmal klar, was sie aussagen? Wie gesagt, unabhängig davon, dass es wünschenswert wäre, sie zu verstehen, solltest du sie so hinnehmen.
6. Da hätte ich auch gleich drauf kommen können, dass diese Zeile problematisch ist.^^ Wichtig ist natürlich, dass wir das Problem

lösen wollen. Ich nehme an, das wusstest du, aber es ist in der Tat verwirrend, dass es nicht auf derselben Folie stand. Jedenfalls wird in diese Gleichung dann 1 und 3 eingesetzt, zusammen mit den Werten für A und B aus den Zeilen 4 und 5. Damit ergibt sich diese Gleichung. die für beliebiges t gilt. Du kannst zum Beispiel t=0 setzen und stellst fest, dass für ihre Gültigkeit

notwendig ist und überprüfst, dass das auch schon hinreichend ist. Oder aber, du nennst das, was du machst, einfach Koeffizientenvergleich.^^ Dass das funktioniert, kann analytisch begründet werden (Stichwort Fourierreihen), sollte hier aber wirklich nicht stören.

Ist noch etwas unklar?

Skyray · Anmeldungsdatum: 28.02.2014 Beiträge: 18

Ok danke! Den Ablauf habe ich nun komplett verstanden.
Wieso ist aber B=x0
Damit der x(t) 0 wird, muss B doch 0 sein, da cosinus 1 wird?
Oder ist damit x0 gemeint?

Danke!

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Wer sagt denn, dass x(0)=0 ist? Wenn die Randbedingung in der konkreten Aufgabe, die Du ja nicht verraten hast, tatsächlich so lautet, dann wäre B tatsächlich Null. Hier wird nur ausgesagt, dass das B der allgemeinen Schwingungsgleichung aus der Anfangsbedingung (Auslenkung zum Zeitpunkt t=0) ermittelt werden kann. Genauso wie das A aus der Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit bestimmt werden kann. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit in der konkreten Aufgabenstellung tatsächlich Null ist, dann muss auch A=0 sein.