Trajektorie auf Einheitssphäre

HM3 · Anmeldungsdatum: 31.01.2014 Beiträge: 10

Hallo liebe Physikerboardler,

ich soll die Trajektorie eines freien Partikels (punktförmig und Einheitsmasse) berechnen, welcher sich auf der Oberfläche der Sphäre

bewegt.

Jetzt hab ich erstmal leichte Probleme mit dem Begriff Trajektorie. Es soll wohl eine Kurve oder Bewegungsbahn sein. Aber was genau soll ich jetzt mit dem Partikel machen?
Wenn sich vielleicht zu Beginn erstmal jemand finden würde, der mir erklären kann, worauf das hinausläuft bzw. was damit gemeint ist, würde mir das schon sehr helfen!
Aber so seh ich leider auch keine Möglichkeit, eigene Lösungsvorschläge zu entwickeln, um sie euch hier zu präsentieren unglücklich

Hilfe!

Grüße,
HM3

Hopf(en) · Anmeldungsdatum: 30.01.2014 Beiträge: 41

Trajektorie heißt in der Tat nichts Anderes als Teilchenbahn. Stell den Ortsvektor in Kugelkoordinaten bei Radius R = 1 dar. Die beiden Winkel sind jeweils zeitabhängig. Also im Endeffekt

Mit Kugelkoordinaten kennst du dich aus ?

und

erhälst du aus der Lösung der Hamilton-Gleichungen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Kennst du die Lagrange-Formulöierung der Newtonschen Mechanik?

Zwei Ansätze:

1) Parametrisierung der Kugeloberfläche mittels zwei Winkeln
- Berechnung der Tangentenvektoren = Geschwindigkeiten
- Lagrangefunktion in den verallgemeinrten Koordinetn (Winkeln)
- Euler-Lagrange-Gleichungen

2) Freies Teilchen im R³, kartiissche Koordinaten
- Einführung eines Constraints R² = x²+y²+z²
- Lagrangefunktion in den verallgemeinrten Koordinetn (x,y,z)
- Euler-Lagrange-Gleichungen

HM3 · Anmeldungsdatum: 31.01.2014 Beiträge: 10

Vielen Dank für eure Antworten.

Aber wie stell ich die Lagrangefunktion denn auf? Über

mit der kinetischen Energie T und der potentiellen V?

Und wenn ja: Was ist die potentielle Energie? Kommt die aus der Gravitationskraft? Wenn ja: Wohin zeigt diese - Ursprung oder nach "unten" (z.B. nach -y)?

Viele Grüße!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Da von einem freien Teilchen die Rede ist, ist V=0 und L=T.

HM3 · Anmeldungsdatum: 31.01.2014 Beiträge: 10

Ah, ok. Danke!

Dann komm ich mit

also auf die Lagrangefunktion

Dann berechne ich

und das ist dann mein Ergebnis? Oder gehört noch was hinterher?

Dann hab ich also 2 Gleichungen, die gelten müssen. Richtig so?

Viele Grüße!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Du solltest noch beachten, dass phi eine zyklische Koordinate und der zugehörige Impuls damit eine Erhaltungsgröße ist. Das kannst du zur Vereinfachung der Bewegungsgleichungen nutzen.

HM3 · Anmeldungsdatum: 31.01.2014 Beiträge: 10

Ich weiß mit dieser Bemerkung leider nichts anzufangen... Erhaltungsgröße heißt doch, dass die Ableitung nach der Zeit =0 ist?! Aber ich differenziere die Ableitung nach phi doch gar nicht mehr nach t?!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Es gilt

Nun kommt phi selbst in L nicht explizit vor, und somit ist

Damit reduziert sich die Euler-Lagrange-Gleichung auf

D.h. die Zeitableitung des Terms

verschwindet

Dieses L_phi ist der zu phi kanonisch konjugierte Impuls, und er ist eine Erhaltungsgröße.

Nun kannst du L_phi explizit aus L berechnen. Die resultierende Gleichung

löst du auf:

und kannst so die nicht-konstante Zeitableitung von phi zugunsten des konstanten L_phi aus den Euler-Lagrange-Gleichungen eliminieren.