Festkörperphysik: Periodizität der Energiezustände im k-raum

reliefpfeiler · Anmeldungsdatum: 30.05.2007 Beiträge: 21

Servus

Ich beschäftige mich gerade mit Festkörperphysik, genauer gesagt mit dem Bändermodell der Elektronenzustände und habe hierbei folgendes Problem:
Mir ist klar, dass wenn ich ein periodisches Potential betrachte, ich die Elektronen als Bloch-Wellen betrachten muss. Das bedeutet, dass die Zustände im k-Raum periodisch bzgl reziproker Gittervektoren G sind:

Das finde ich soweit auch logisch, und es macht auch sinn, dass ich dementsprechend die Eigenzustände wiederholen. So z.B. die Energie:

Nur wenn ich jetzt die bekannte Dispersionsrelation

betrachte, macht das aufeinmal keinen Sinn mehr. Ich erhalte nämlich:

Und ich sehe ja direkt dass diese Gleichung nur für G=0 erfüllbar ist... jedoch steht genau diese letzte Gleichung in allen Festkörperphysikbüchern die ich bisher angeschaut habe aber nirgendwo wird auf diese offensichtliche ungleichheit der angeblichen Gleichung eingegangen...

Ich verstehe meinen Denkfehler hierbei nicht, ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Liebe Grüße
reliepfeiler

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

reliefpfeiler · Anmeldungsdatum: 30.05.2007 Beiträge: 21

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Keine Ahnung wieso die das schreiben, ich kenn das Buch nicht. Aber als mathematische Gleichung ist das natürlich erstmal quatsch für G!=0.

Was sie vermutlich meinen ist, dass die Energie eines Elektrons geschrieben werden kann als h^2(k+G)^2/2m, wobei k dann in der ersten Brillouin-Zone liegt.

Vllt hilft das Bild hier (obwohl es recht Standard ist und wohl auch in dem Buch ist):
http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_Lattice_Approximation

reliefpfeiler · Anmeldungsdatum: 30.05.2007 Beiträge: 21

Ok, so macht das schon etwas mehr Sinn. Ich verstehe wirklich nicht warum die das in dem Buch dann so blöd aufgeschrieben haben...

Aber ehrlich gesagt ist meine Verwirrung noch nich ganz weg, vlt kannst du mir nochmal helfen:
Heißt das nun dass ich für einen k-Vektor aus der ersten Brillouin-Zone mehrere verschiedene Energiewerte habe oder heißt es dass ich für einen Energiewert mehrere k-Werte (auch außerhalb der 1. brillouin zone) habe? Oder beides?

Sry is vlt ne blöde Frage aber das Thema verwirrt mich etwas =)

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

E(k) ist eine sogenannte Dispersionsrelation, die Dir die Energie angibt die ein Elektron mit Wellenvektor k haben kann. Normalerweise ist das einfach ~k^2 und es gibt nur eine mögliche Energie E. In einem Festkörper sind nun aber mehrere Energien möglich.

Wie genau Du die darstellen willst ist letztendlich Dir überlassen (k in der ersten Brillouin-Zone oder nicht), aber es reicht aus k auf die erste Brillouin-Zone zu beschränken. (Was auch intuitiv Sinn macht, da ein Kristall ja periodisch ist.)