Orthogonalitätsrelation in Festkörperphysik

Kein_Genie · Gast

Meine Frage:
Ich vertshe nicht ganz, wieso diese Relation gilt:

mit

und

Die R-Vektoren bezeichnen Gitterplätze.

Meine Ideen:
Wenn die Indizes gleich sind, ist es kalr, warum 1 rauskommt, da es

Möglichkeiten für k gibt und somit die Summe dann einfach N ergibt.
für ungleiche Indizes ist es mir anschaulich klar, dass es 0 ergibt, jedoch komme ich nicht drauf, wie ich das korrekt Beweise. Könnte mir jemand weiterhelfen?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5865

Kein_Genie · Gast

Ach mist, hab mich verschrieben!

statt k soll da

stehen und k ist gegeben durch

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18060

Deine Formel entspricht letztlich der diskreten delta-Funktion.

Kein_Genie · Gast

Ja, das weiß ich, aber ich soll es beweisen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5865

Anschaulich könnte man es sich so erklären: wenn

, dann ist

auch ein Gittervektor, hier offenbar einfach durch Zahlen

ausgedrückt. Im Exponent steht also

Wenn man das über alle

laufen lässt, so sollte

gleichverteilt auf dem Einheitskreis sein, womit die Summe verschwindet (jedenfalls nach Division durch

).

Genauer müsste man zeigen, dass für jedes

ein

in der Summe existiert mit

für ein

.

Dann ist jeweils