Differentiation eines Integrals

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hi, eigentlich eine Mathefrage, aber ich bin grad durch nachdenken über eine Physikfrage drauf gekommen:

Die dissipierte Energie einer gedämpfte Schwingung, welche durch eine Reibungskraft der Form

F = -b*v

geleistet wird,

berechnet sich (bei 1-D Bewegung) als

Würde ich nun davon die totale Zeitableitung bilden wollen (z.B. weil ich aus dem Energiesatz gerne zur Bewegungsgleichung kommen möchte), kann ich dann folgenden Ausdruck:

noch weiter aufdröseln (durch Differentiationsregeln), oder geht das im Allgemeinen nicht?

Hmm, okay wenn ich annehme, das eine Stammfunktion existiert (und das bestimmte Integral ebenso), dann ergibt sich

kann das sein?

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Sei F(x) eine Funktion mit

(Also die Stammfunktion passend zum Integral)

Dann gilt

Und damit

Namenloser324 · Gast

Also vom Prinzip genauso wie ich das gemacht hab, hatte nur kurz nicht mehr im Kopf, dass ja nach x integriert wurde.

Danke smile

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Öhm

Ja

Es wurde bloß der Schritt Zur Stammfunktion und zurück vergessen.

Hinzu kommt eben der Faktor

, da x(t) nun eine Bahnkurve und keine Variable mehr ist, die mit verschiedenen Geschwindigkeiten durchlaufen werden kann.

Namenloser324 · Gast

Mir fällt gerade auf, dass das Integral wegen der periodischen Bewegung nicht immer richtig sein kann, wenn man x(t) als Ort auffasst?

Denn x(t) wird immer im Interval [-x_0,+x_0] liegen, aber natürlich wird v(t) monoton abnehmen d.h. ich muss x hier als Gesamtstrecke interpretieren, demgemäß x(t) nicht als Ortsfunktion verstehen sondern als Streckenfunktion s(t).

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

Ja, richtig. x nicht die Auslenkung des Oszillators.

Bei diesem Arbeitsintegral ist x der zurückgelegte Weg also die Streckenfunktion, da die Reibkraft immer entgegengesetzt der Bewegungsrichtung ist.