DGL für Teilchen in E- und B-Feld lösen?

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

Hallo Leute,

Folgendes Problem:
Teilchen mit Masse m und Ladung q bewegt sich in E- und B-Feld, die Senkrecht zu einander stehen. E=(0,0,E) und B=(B,0,0) seien vorgegeben.
1. Finden sie die Bahnkurve X(t) für X(0) = v(0) = 0
2. Finden sie die Bahnkurve, bei der sich das Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Geben sie diese Geschwindigkeit an. (Gehen sie von einer Bewegung in der yz-Ebene aus)
Vektoren habe ich dick geschrieben! X ist Koordinate, x ist Kreuzprodukt

Meine Ansätze:
DGL über Kräfte aufstellen:
F = ma = qE + q (v x B)

Das Ergibt:

Und ab hier weiß ich nicht mehr weiter, wie ich die DGL lösen soll. Gleichung 1 gibt mir ja das normale Weg-Gesetz für unbeschleunigte Bewegungen. Gleichung 2 und 3 müsste ich ja betrachten, die sind aber gekoppelt und inhomogen. Und da liegt das Problem…Wie löse ich das nun?

Namenloser324 · Gast

Leite mal die DGL für v_y nach der zeit ab und guck danach genau auf die dritte deiner Gleichungen

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

Meinst du, ich soll dann die Abgeleitete DGL in die 3. Gleichung einsetzten?

Also wird Gleichung 3 zu:

Und dann diese inhomogene, NICHT-gekoppelte DGL 2. Ord. lösen?
Dann erhalte ich v_y und kann ich die zweite DGL einsetzten und dort dann v_z errechnen, richtig?

Namenloser324 · Gast

Genau! Wenn du das System gelöst hast musst du natürlich noch die erhaltene Geschwindigkeitsfunktion nach der Zeit integrieren, denn es ist ja nach x(t) gefragt Zunge raus

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

ok. Danke schön!

Und wie löse ich den zweiten Teil der Aufgabe? Da dachte ich mir, dass ich:
v= const heißt, dass die Zeitableitung von v = 0 sein muss.
Also mache ich:
1. Alg. v nach der Zeit ableiten (also die Lag, ohne Anfangsbedingungen)
2. 0 setzten und dadurch die Konstanten bestimmen
Stimmt das so?

Was bringt mir der Hinweis mit der yz-Ebene?

Namenloser324 · Gast

Wenn du mit v den Betrag von v meinst dann ginge das, ja.
Alternativ:

Konstante Geschwindigkeit -> Kraft leistet keine Arbeit -> Weg steht senkrecht auf der Kraft

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

So, nun habe ich mal durchgerechnet, bitte um Korrektur von Fehlern:

1. Komponente der Bahn und der Geschwindigkeit:

Anfangsbedingunge x(0)=0 => c_2=0
Anfangsbedingunge v(0)=0 => ???
Bei der x-Komponente der Geschwindigkeit passt die Anfangsbedingung nicht, da v_x ja konstant ist. Wo ist der Fehler?

2. Komponente der Bahn und der Geschwindigkeit:
DGL, nach einsetzten von Zeitableitung von Gl. 2:

Lösung der homogenen DGL:

Spezielle Lösung:

=> Anfangsbed.: v(0) = => A=-E/B

3. Komponente der Bahn und der Geschwindigkeit:

=> Anfangsbedingungen v(0) = 0 werden wegen sin gleich erfüllt

=> Da die z-Komponente unabhängig von A alles erfüllt, müsste ich doch das selbe A, wie bei der y-Komponente nutzen dürfen?

Insgesamt folgt für die Bahn und Geschwindigkeit dann:

Stimmt das soweit? Sieht so hässlich aus….

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

vx=0
und warum setzt du für A nicht den berechneten Wert ein?
und unten beim z Anteil stimmt was mit der omega nicht

Hobbit93 · Anmeldungsdatum: 24.06.2013 Beiträge: 31

Gut, das mit v_x=0 ist mehr als logisch.
Habe die A stehen gelassen, für mich der Übersichtlichkeit halber…

Beide z-Komponenten sollen also falsch sein:

Stimmt es nun? Habe das 1/w vergessen beim Integrieren…. Hammer

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Sieht besser aus. Wenn Du jetzt alles in w und L=E*q/m*w^2 ausdrückst, dann sollte das alles recht uebersichlichtlich aussehen.

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Was man auch noch machen kann
Hier den Wert für omega einsetzen

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Oder so