Erwartungswert des Jx ^2 Drehimpulsoperators

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Meine Frage:
Ich weiß, dass für die Erwartungswerte der Drehimpulsoperatoren der x und y Richtung folgende Gleichheit aufgrund keiner ausgezeichneten Richtung in der x-y Ebene gelten muss:

Ich weiß auch, dass gilt:

und

Außerdem gilt:

und

Meine Ideen:
Die letzte Aussage, kombiniert mit der ersten Gleichheit kann meiner Meinung nach nur wahr sein für:

Dies ist sicherlich nicht immer der Fall,

wo liegt mein Denkfehler?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Für welchen Zustand willst du denn die Erwartungswerte berechnen?

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Ich wollte berechnen, dass die Gleichung:

generell gilt. Ich wollte keinen bestimmten Zustand berechnen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Also für einen beliebigen Zustand ist das sicher falsch.

Zunächst mal ist kein Zustand und keine Richtung ausgezeichnet. Und damit müsste aus Symmetriegründen

gelten. Das ist aber sicher nicht der Fall.

Du musst also irgendetwas über deinen Zustand voraussetzen, damit deine Gleichung erfüllt sein kann. Ich denke, du wirst implizit davon ausgehen, es sich bei dem Zustand um einen Eigenzustand von Jz handelt. Dann muss

aus Symmetriegründen gelten.

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Genau, das meinte ich, dass der Zustand ein Eigenzustand von Jz sein soll. Ich habe gedacht, dies wäre Konvention und somit ein allgemeiner Zustand, aber jetzt bin ich schlauer:).
Es ist mir auch klar, dass dann aus Symmetriegründen gelten muss:

Doch wie bei meinem ersten post gezeigt, kann ich mir auch herleiten, dass gilt:

Das kann ja irgendwie nur erfüllt sein, wenn:

Das ist doch aber nicht immer der Fall, oder?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Ich denke, da steckt irgendwo ein trivialer Vorzeichenfehler drin.

Es gilt zunächst

Daraus folgt

und demnach

D.h. aber, dass die Terme mit nicht-verschwindendem Erwartungswert identisch sind.

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Vielen Dank. Ich hatte tatsächlich einen Vorzeichenfehler... Big Laugh