Berechnung der Seilkraft

Snape · Anmeldungsdatum: 23.08.2013 Beiträge: 12

Meine Frage:
Hallo, ich sitze seit längerer Zeit vor dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Ich habe keine Ahnung, wie ich das Problem angehen soll. Ich habe schon den Böge und das Internet nach Seilkräften gewälzt, aber nichts gefunden, was mir helfen könnte. Auch mit Kräftezerlegung komme ich nicht weiter. Habe es auch schon mit Verhältnisgleichungen versucht, aber dazu unten.

Jetzt die Frage im Originaltext:

Ein Seil der Länge l ist bei B und C befestigt. Es wird durch die an einer losen Rolle (reibungsfrei) hängenden Masse m gespannt.

Alle gegebenen Daten in der Skizze. Gesucht wied die Seilkraft

.

Meine Ideen:
Ich dachte mir, wenn ich die einzelnen Längen ins Verhältnis setze komme ich vielleicht weiter.

aber leider bringt mich das nicht weiter.
Bitte bitte gebt mir einen Ansatz in die richtige Richtung.

Snape · Anmeldungsdatum: 23.08.2013 Beiträge: 12

Sry hatte die Skizze vergessen

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Ich habe das noch nicht zu Ende gedacht, aber Du könntest unter den
gegebenen Randbedingungen die Rolle so positionieren, dass der
Schwerpunkt in der tiefsten möglichen Lage hängt.

Gruß von Bruce

Snape · Anmeldungsdatum: 23.08.2013 Beiträge: 12

Ahm.... erst mal vielen vielen dank, aber wie macht man das?? Wäre ja vielleicht kein Problem, wenn die beiden Punkte B und C auf gleicher höhe wären, aber so?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Was bewirkt die Masse? Sie dreht die Richtung der Seilkraft, der Betrag bleibt aber erhalten. Die Vektorsumme der einzelnen Kräfte, mit denen die Masse an verschiedenen Punkten am Seil angreift, ist also genau die Differenz der beiden Seilkräfte vor und hinter der Masse. Nach dem dritten newtonschen Axiom ist es genau diese Kraftdifferenz (die natürlich eine Richtung hat), mit der auch das Seil insgesamt auf die Masse einwirkt. Zusätzlich wirkt auf die Masse die Gravitationskraft ein, welche naturgemäß nach unten zeigt. Die resultierende Kraft auf die Masse soll aber null sein (Nullvektor). Das geht nur, wenn die Anstiegswinkel des Seils vor und hinter der Masse gleich groß sind.

PS:

Snape · Anmeldungsdatum: 23.08.2013 Beiträge: 12

@ Jayk

Okay, verstehe ich das richtig:

Egal wo sich die Masse befände, die Seilkraft hätte immer den selben Wert.
Daraus kann man ableiten, das die jeweiligen Anstiegswinkel bei beiden Abschnitten des Seils (und damit der Kraft) gleich groß sind.
Darüber muss ich erst einmal Nachdenken, wie ich damit weiterkomme.
Leider muss ich jetzt erst einmal weg. Vielleicht findet sich ja bis morgen noch jemand, der mir weitere Hinweise geben kann. Bis dahin arbeite ich mit dem, was ich habe erst einmal weiter.
Ach jeh, das sah so einfach aus....
Vielen Dank schon mal.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Ich habe da noch einen kleinen Tip:

Die Kurve, auf der der gesuchte Aufhängepunkt liegt, ist eine Ellipse!

Die Brennpunkte dieser Ellipse sind B und C und die die beiden Halbachsen
berechnen sich aus dem Abstand von B und C und der Seillänge l.

Das muß nicht extra bewiesen werden sondern das ist ein alter Hut den
viele Gärtner kennen. Es handelt sich um eine gängige, konstruktive
geometrische Definition für die Ellipse.

Damit ist auch klar, wie man an den tiefsten möglichen Punkt für das Gewicht
kommt. Wie einfach oder schwierig die explizite Rechnung ist, habe ich
selbsverständlich noch nicht ausprobiert Big Laugh

Gruß von Bruce

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Hey, ich hatte auch gerade die Überlegung mit der Ellipse angestellt. Prost

Allerdings aus einem anderen Grund: Die Kraft, die auf die Kugel wirkt, ist offensichtlich proportional zu dem Winkel, um den sie das Seil "krümmt". Wenn die Seilkraft unabhängig von der Position der Kugel wäre, müsste dieser Winkel unabhängig von der Position sein, was bedeutet, die Kugel müsste eine Kreisbahn beschreiben. Mit anderen Worten: die Aufhängepunkte müssten aufeinanderfallen. Aber dann gäbe es sowieso nur eine mögliche Position für die Kugel...

Im Anhang eine Skizze über die Kräfteverhältnisse. Die Idee ist sozusagen, das Seil in viele unendlich kleine Stücke aufzuteilen und zu überlegen, welche Kräfte auf diese wirken. Geometrisch ist das so ähnlich, wie man es auch zur Herleitung der Zentripetalkraft machen kann. Zur Erklärung: Auf den zweiten roten Punkt von links wirkt die Seilkraft, die auf den Punkt links davon wirkt. Eine zusätzliche Kraft kommt vom anliegenden Teil der Kugel. Diese bewirkt offensichtlich, dass die Kraft auf diesen roten Punkt wieder tangential zum Seil wird und betragsmäßig auch so groß ist, wie am Punkt zuvor (wenn das nicht so wäre, wäre es kein Gleichgewichtszustand, da es dann Spannungen im Seil gäbe). Man kann diese Einteilung aber auch überspringen und das Ganze gleich physikermäßig "global" betrachten.

PS: Im Grenzfall unendlich kleiner Einteilungen ist natürlich die Kraft von einem Teil der Kugel auf einen Teil des Seils immer senkrecht zum Seil, so wie auch die Zentripetalkraft senkrecht zur Kreisbahn ist.

zracki · Anmeldungsdatum: 28.05.2013 Beiträge: 59

Wenn sich die Rolle nicht horizontal bewegt, muss die "Steigung" des Seils beiderseits der Rolle gleich sein.

Zusammen mit der Länge l des Seils, dem horizontalen Abstand Delta und dem vertikalen Abstand d der Aufhängungen ist die Geometrie des Problems damit vollständig bestimmt:

Also 4 Gleichungen für 4 Unbekannte. (Delta=4, l=5)

Die Seilkraft ist dann klar, sobald man sin(alpha) hat.

Ich komme zunächst auf

und schließlich

was auch physikalisch sinnvoll scheint, aber nicht mit dem angegebenen Ergebnis übereinstimmt. Ich sehe jetzt aber gerade nicht, wo ich mich verrechnet haben könnte.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Wenn h die Überhöhe des zweiten Aufhängepunkts gegenüber dem ersten ist, l der horizontale Abstand der Aufhängepunkte, t die Unterhöhe der Kugel gegenüber dem ersten Punkt und L die Gesamtlänge des Seils, dann gelten, wie man sich aus den Strahlensätzen und dem Satz des Pythagoras überlegen kann,

Was zusammen zu folgender Gleichung führt (man muss bei den Wurzeln x bzw. (l-x) ausklammern)

Aus meiner Grafik von vorhin kann man ablesen, dass

EDIT: Sehe gerade, zracki hat dieselbe Gleichung. Dann ist wohl die Lösung falsch.
EDIT2: Doch nicht ganz. Bei mir sind es ca. 118 N.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Oh sorry, ich habe einen Fehler gemacht. Die Gleichung mg/2F=t/x stimmt nicht, da das rechtwinklige Dreieck, in dem F die Hypotenuse und mg/2 die Gegenkathete ist, ähnlich zu dem Dreieck ist, wo t die Gegenkathete und x die Ankathete ist. Die Lösung von zracki scheint aber korrekt zu sein.

Im Endeffekt ergibt sich auch der Sinus aus der Formel hier über die Identität

(mehrmaliges Anwenden von Pythagoras). In jedem Fall bin ich dafür, dass die Lösung von zracki richtig ist.

Snape · Anmeldungsdatum: 23.08.2013 Beiträge: 12

Hallo,jetzt habe ich es wieder geschaft, mir die Aufgabe noch mal vorzunehmen. Zunächst: mit Zracki's Berechnung erhalte ich 147,15N und das ist laut Lösung richtig.
Auch der Lösungsweg ist einfach zu verstehen. Ich bin gerade dabei ihn Nachzuvollziehen und muss nur noch die Gleichungen passend Umstellen. Danke sehr! Ich glaube, alleine wäre ich da nicht drauf gekommen!

roycy · Anmeldungsdatum: 05.05.2021 Beiträge: 961

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

roycy · Anmeldungsdatum: 05.05.2021 Beiträge: 961

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