Erwartungswert

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Hallo allerseits, ich weiss irgendwie icht mit welchem Ansatz ich an die folgende Aufgabe herangehen soll.

Es soll mit Hilfe der Leiteroperatoren

des Drehimpulses gezeigt werden, dass die Erwartungswerte eines beliebigen Operators A, der mit

und

vertauscht, in den Eigenzuständen

nicht von m abhängen.

Wie kann ich hier vorgehen? Ich weiss irgendwie nicht mit welchem Ansatz ich beginnen soll.
Hat da jemand einen Tip für mich?
Ich danke im voraus.
Grüße

Uriezzo · Anmeldungsdatum: 15.09.2011 Beiträge: 281 Wohnort: Großostheim

Vielleicht hilft es Dir auf die Sprünge, wenn Du folgende Fragen in dieser Reihenfolge beantwortest:

Wie lassen sich die Operatoren

und

mit Hilfe der Leiteroperatoren darstellen?

Was folgt daraus für die Vertauschungsrelationen von

mit den Leiteroperatoren?

Wie wirken die Leiteroperatoren auf die Zustände

?

Wie lässt sich das alles verwenden, um zu zeigen, dass die Erwartungswerte von

eben nicht von m abhängen?

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Danke erstmal. Dann fange ich mal an.

1.

, dass weiss ich schon.

2. A vertauscht mit L_x und L_y:

...wie wirken den hier die Leiteroperatoren auf A?
analog auch für L_y.

Um Frage 3 und 4 beantworten zu können, müsste ich erstmal 2 zu Ende bringen. Ich weiss aber gerade leider nicht, wie die Leiteroperatoren mit A kommutieren!

Kannst du mir da vllt. auf die Sprünge helfen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Also ist

. Aber was bringt mir das jetzt? Sorry, komme gerade nicht dahinter, was ich damit erreichen soll. Außerdem ist ja noch bekannt, dass L_+ den Eigenwert einer Eigenfkt. um 1 erhöht und L_- entsprechend das Gegenteil.

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Wahrscheinlich übersehe ich die ganze Zeit irgendetwas. Kann mir einer vllt. auf die Sprünge helfen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Einfach einsetzen:

Und dann den Erwartungswert umschreiben mit

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Nun...?
Erwartungswert für A ist:

Ich erkenne irgendwie den Zusammenhang noch nicht, zwischen den Erwartungswert von A und den Kommutatoren!
Was ist A? Was muss ich den dafür einsetzen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

A ist ein beliebiger Operator der mit L_+/- kommutiert, da gibt es nichts einzusetzen. Du weisst ja aber noch, das z.B. gilt

Jetzt musst Du bisschen ausprobieren wie man den Erwartungswert umschreiben kann und die Tatsache dass A und L_+/- kommutieren ausnutzen kann, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen. Wenn man es richtig macht ist es eine Zeile, aber das ist ja egal.

PS: Das war's erstmal an Tipps von mir. Der Sinn der Aufgabe ist ja, dass Du sie löst (und eigentlich auch den Lösungsweg findest), nicht dass ich sie Dir hier aufschrieb.