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FereZor
Gast
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 FereZor Verfasst am: 27. Apr 2013 17:26 Titel: Perle auf rotierendem Draht - Newton |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe und komme nicht weiter:
Auf einem Parabelförmigen Draht mit z=a*r^4 befindet sich frei beweglich eine Perle.
Der Draht rotiert mit fester Winkelgeschw.
Jetzt soll ich die newtonsche Bewegungsglg. dafür aufstellen
Meine Ideen:
Gut, Zylinderkoordinaten bieten sich an. dann ist für phi = w*t schon eine Lösung gefunden und z hängt direkt von r ab (nach obiger Gleichung).
Ich habe das ganz gerade schon einmal mit LaGrange gelöst, war relativ eingach, wenn auch mit großen Zahlen im Ergebnis...
Aber ich habe ehrlich gesagt überhaupt keinen Ansatzpunkt wie ich das bei Newton mit den Zwangskräften machen soll, deren Betrag in relevanter Richtung ja auch noch von der Steiung der Parabel an der jeweiligen Stelle abhängt.
Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Vielen Dank! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 27. Apr 2013 17:33 Titel: |
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Zerleg die wirkenden Kräfte in Komponenten entlang des Drahtes und senkrecht dazu. |
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FereZor
Gast
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| FereZor Verfasst am: 27. Apr 2013 17:45 Titel: |
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Gut, dass mache ich dann mit der Ableitung besagter Parabelfunktion, nehme ich an?
Und dann interessiert mich letztlich welche Komponente?
Ich sehe vermutlich gar nicht mehr wie es einfach geht, weil ich seit Stunden in die falsche Richtung renne |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 27. Apr 2013 17:49 Titel: |
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Die Komponente in Richtung des Drahtes liefert die Bewegung der Perle, die Komponenten senkrecht dazu müssen sich logischerweise aufheben (d.h. sie liefern Dir die Groesse der Kraft, die der Draht auf die Perle ausübt). |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 27. Apr 2013 19:51 Titel: Re: Perle auf rotierendem Draht - Newton |
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| FereZor hat Folgendes geschrieben: | | Auf einem Parabelförmigen Draht mit z=a*r^4 |
Das ist eine ungewöhnliche Parabel. |
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FereZor
Gast
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| FereZor Verfasst am: 28. Apr 2013 12:20 Titel: |
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Gut, dann interessiert mich jetzt erst einmal nur der Vektor tangential der Parabel.
Ich fange also an mit dem Ortsvektor der Punkte auf der Parabel:
 \\ r*sin(wt) \\ a*r^{4} \end{pmatrix} )
Wenn ich den jetzt nach r ableite, dann bekomme ich einen Vektor tangential zur Parabel:
 \\ sin(wt) \\ 4*a*r^{3} \end{pmatrix} )
So, wie müsste ich jetzt weitermachen?
Diesen Vektor normieren und dann eine Vektorprojektion der Gewichtskraft darauf sowie der Gesamtkraft mr'' ? Das führt leider irgendwie nicht zu viel.
Eine nette Lösung ergibt sich nach dem D'Alebert Prinzip, wenn ich den Vektor nicht normiere und einfach mit (mr''+mg(ez)) multipliziere...
Aber das ist ja im engeren Sinne nicht Newton.
Und muss ich nicht auch die Zentripetalkraft berücksichtigen, bzw. hätte die nicht eigentlich auch Komponenten in der Tangentialrichtung?
Also wie mache ich jetzt am besten weiter?
Vielen Dank! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 28. Apr 2013 12:42 Titel: |
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| FereZor hat Folgendes geschrieben: | Ich fange also an mit dem Ortsvektor der Punkte auf der Parabel:
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Ich würde das Ganze im mitrotierenden System berechnen. Dann musst Du zwar die Zentrifugalkraft mit berücksichtigen (Du kannst ja mal überlegen, warum die Corioliskraft keine Rolle spielt), aber dafür wir das Problem auf zwei Dimensionen redziert.
| FereZor hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich den jetzt nach r ableite, dann bekomme ich einen Vektor tangential zur Parabel:
So, wie müsste ich jetzt weitermachen? |
Du hast jetzt schon mal die Richtung der Geschwindigkeit. Als nächstes würde ich ihren Betrag berechnen. Dazu bräuchtest Du den Anteil der Gesamtbeschleunigung, der ebenfalls in diese Richtung zeigt.
Eine andere Möglichkeit wäre die Berechung und Integration der Gesamtbeschleunigung selbst.
| FereZor hat Folgendes geschrieben: | | Und muss ich nicht auch die Zentripetalkraft berücksichtigen, bzw. hätte die nicht eigentlich auch Komponenten in der Tangentialrichtung? |
Soweit ich das sehe, ist die Zentripetalbeschleunigung hier nur im Gleichgewichtsfall interessant. |
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FereZor
Gast
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| FereZor Verfasst am: 28. Apr 2013 13:10 Titel: |
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Gut, also normiere ich erst einmal Vektor tangential zur Parabel und komme auf den Einheitsvektor der Tangentenrichtung:
 \\ sin(wt) \\ 4*a*r^{3} \end{pmatrix}
<br />
)
So, jetzt projeziere ich die Gewichtskraft auf diesen Einheitsvektor und erhalte so die Kraft in Richtung der Tangente:
So und jetzt den ursprünglichen Ortsvektor auch zweimal nach der Zeit ableiten und dann in Zylinderkoordinaten transfomieren oder wie?
Letztlich will ich ja eine Bewegungsgleichung für r als Radius zwischen Drehachse und Perle. |
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FereZor
Gast
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| FereZor Verfasst am: 28. Apr 2013 13:11 Titel: |
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Das b^2 sollte ein 1^2 werden, kA wie das jetzt passiert ist... |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 28. Apr 2013 16:29 Titel: |
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| FereZor hat Folgendes geschrieben: | Gut, also normiere ich erst einmal Vektor tangential zur Parabel und komme auf den Einheitsvektor der Tangentenrichtung:
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Wie ich oben schon sagte, würde ich es im mitrotierenden System berechnen. Mit
)
sieht die nicht normierte Tangentenrichtung dann so aus:
<br />
)
Natürlich kommt dann zur Fallbeschleunigung auch noch die Zentrifugalbeschleunigung. Zusammen ergibt das
Der tangentiale Anteil wäre dann
Wenn ich das richtig sehe, musst Du dann nur noch den radialen Anteil zwei mal über die Zeit integrieren um r(t) zu erhalten. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 30. Apr 2013 18:13 Titel: |
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Nachdem ich nochmal darüber nachgedacht habe, glaube ich, dass dieser Weg zu kompliziert ist. Also hab' ich nochmal von vorn angefangen:
Im mitrotierenden System bewegt sich die Perle auf der Kurve
 = \left( {r,z\left( r \right)} \right)^T
<br />
)
Um zur Beschleunigung zu kommen, leite ich zwei mal nach der Zeit ab:
Nach Newton gilt
Die Kraft setzt aus der Gewichtskraft und der vom Draht auf die Perle ausgeübten Führungskraft zusammen. Im rotierenden System kommen noch die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft dazu. Die Gewichtskraft und die Zentrifugalkraft, kann ich gleich hinschreiben:
^T)
^T)
Die Corioliskraft wird schon deutlich komplizierter, weil sie von der Geschwindigkeit abhängt und die Führungskraft kenne ich gar nicht. Glücklicherweise brauche ich mich um diese Komponenten nicht zu kümmern, weil sie senkrecht zum Draht wirken. Das bedeutet nämlich
Ich muss die Gleichung also nur mit s' multiplizieren und schon fliegt beides raus. Wenn ich anstelle der Kräfte der Einfachheit halber die entsprechenden Beschleungen einsetze komme ich damit direkt zum Radialteil der Bewegungsgleichng
 - s' \cdot s'' \cdot \dot r^2 }}{{s'^2 }} = \frac{{w^2 \cdot r - z' \cdot g - z' \cdot z'' \cdot \dot r^2 }}{{1 + z'^2 }}) |
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