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Nachricht |
Dooku
Gast
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 Dooku Verfasst am: 24. Feb 2013 11:57 Titel: Herleitung der Phasenverschiebung im Wechselstromkreis |
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Hi,
wir haben im Physik-Unterricht das Thema "Kondensator und Induktivität im Wechselstromkreis". Nun tritt ja bei einer einfach Reihenschaltung (also RL bzw RC) eine Phasenverschiebung der Ströme auf. Auf den Grund sind wir nicht weiter eingegangen. Mich würde es aber interessieren. Ich habe mich selbst mal an einer Herleitung versucht, bin aber an den Randbedingungen der "gelösten" DGL hängen geblieben (welche auch noch nicht soo aussichtsreich aussieht). Naja da ich zur Zeit sowieso unter Zeitdruck stehe und bestimmt schon irgendjemand vor mir auf den Gedanken kam, wollte ich fragen ob jemand eine Herleitung kennt, bzw ein entsprechendes Dokument.? |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 24. Feb 2013 13:37 Titel: |
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Im Wechselstromkreis mit einer Spule (Wechselspannung und Spule) gilt nach dem Maschensatz:
Nimm nun an, dass
die angelegte Eingangsspannung ist. Für die induzierte Spannung in der Spule gilt:
Damit erhältst Du eine recht einfach zu lösende DGL für den Strom. Löse sie und schau Dir das Ergebnis an. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Feb 2013 15:54 Titel: |
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Nun hat Dooku allerdings nicht nach der Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom einer Spule gefragt, sondern nach der zwischen Spannung und Strom an einer Reihenschaltung von R und L bzw. R und C. Die im Zeitbereich herzuleiten, ist ungleich aufwendiger. Sie läuft auf die Summe zweier Sinusgrößen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phasenlage hinaus, die folgendermaßen hergeleitet wird:
Die beiden zu addierenden Größen seien
})
und
})
Additionstheorem:
}=\sin{x}\cdot\cos{y}+\cos{x}\cdot\sin{y})
Damit lassen sich die beiden Größen a und b schreiben als
}\cdot \cos{\varphi_a}+\hat{A}\cdot \cos{(\omega t)}\cdot\sin{\varphi_a})
}\cdot \cos{\varphi_b}+\hat{B}\cdot \cos{(\omega t)}\cdot\sin{\varphi_b})
und ihre Summe
\cdot\cos{(\omega t)}+(\hat{A}\cdot\cos{\varphi_a}+\hat{B}\cdot\cos{\varphi_b})\cdot\sin{(\omega t)})
Substitution:
Damit ergibt sich als Summe von a und b
}+\cos{\varphi_c}\cdot\sin{(\omega t)}))
was unter Anwendung des obigen Additionstheorems wird zu
})
Erkenntnis: Die Addition zweier sinusförmiger Größen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phasenlage ergibt eine sinusförmige Größe derselben Frequenz, deren Amplitude und Phasenlage sich aus den obigen Substitutionsgleichungen bestimmen lassen.
Bestimmung der Amplitude  : Beide Substitutionsgleichungen quadrieren und addieren
^2+(\hat{A}\cdot\cos{\varphi_a}+\hat{B}\cdot\cos{\varphi_b})^2)
Die linke Seite lässt sich leicht zu  zusammenfassen, die rechte Seite muss zunächst ausmultipliziert und dann zusammengefasst werden:
)
Unter Anwendung des Additionstheorems
})
wird daraus
}})
Zur Bestimmung der Phasenlage  der Summengröße c=a+b werden die beiden Substitutionsgleichungen durcheinander dividiert:
Diese Erkenntnisse lassen sich nun beispielsweise auf die Reihenschaltung von R und L anwenden, durch die derselbe Strom }) fließt (also  ). Dann ist die Gesamtspannung nach Maschensatz:
}+L\cdot\hat{I}\cdot\frac{d}{dt}(\sin{(\omega t)}))
}+\hat{I}\cdot L\cdot\omega \cdot\cos{(\omega t)})
Dabei ist }=\sin{\left( \omega t+\frac{\pi}{2}\right)}) und somit
}+\hat{I}\cdot\omega L\cdot\sin{\left( \omega t+\frac{\pi}{2}\right)})
Mit
und
folgt
}+\hat{U}_L\cdot\sin{\left( \omega t+\frac{\pi}{2}\right)})
Das ist die Summe zweier sinusförmiger Größen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phasenlage, die nach obigen Erkenntnissen wiederum eine sinusförmige Größe gleicher Frequenz mit einer bestimmten Amplitude  und Phasenlage  ergibt. Also
}=\hat{U}_R\cdot\sin{(\omega t)}+\hat{U}_L\cdot\sin{\left( \omega t+\frac{\pi}{2}\right)})
Nach den oben hergeleiteten Regeln ergibt sich
}})
Mit
 }=\cos{\frac{\pi}{2}}=0)
und
bzw.
folgt
^2})
wobei der Wurzelausdruck als Scheinwiderstand der Reihenschaltung von R und L bezeichnet wird.
Und schließlich kann auch die ursprüngliche Frage von Dooku nach der Phasenverschiebung von Strom und Spannung beantwortet werden
Aus obiger Herleitung ist zu erkennen, dass
und
Außerdem
und
Damit ergibt sich für die Phasenverschiebung 
Ich bin nicht ganz sicher, ob Dooku diesen Umfang der Herleitung erwartet hat. Kürzer geht es nicht, wenn man im Zeitbereich rechnet. Einfacher, wirklich sehr viel einfacher wird die Herleitung, wenn man die komplexe Rechnung zuhilfe nimmt. Dann ist die ganze Geschichte in zwei bis drei Zeilen abzuhandeln. |
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Dooku
Gast
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| Dooku Verfasst am: 04. März 2013 19:10 Titel: |
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Nein, das habe ich nicht gemeint. Es geht mir um eine Herleitung der Phasenverschiebung etc. aus den bekannten Gesetzten heraus (quasi deduktiv), nicht aus einer aus dem Experiment ermittelten Größe (wäre hier der Verlauf der Stromstärke auf dem deine Herleitung ja aufbaut). Ein bekanntes Gesetz wäre die Maschenregel, auf der ich meine Herleitung (bis jetzt leider noch ohne Erfolg) aufbauen wollte. Ich beschreibe das jetzt einmal, vllt findet ihr ja den Fehler  .
Gesucht ist die Stromstärke (danach greift ja wieder GvCs Herleitung) in einem Wechselstromkreis aus in reihegeschalteter Spule und Widerstand. Da zunächst die einzig bekannte Größe die Generatorspannung ist und sie entsprechend als "Normalkurve" (Phasenverschiebung = 0-> normale Sinuskurve) beschrieben wird, muss die Stromstärke entsprechend verschoben sein. Die Stromstärke muss also in der Art, wie es von GvC beschrieben die Summe der Spannungen (u(t)) am Widerstand und der Spule sind, verschoben sein. Das Ergebnis dieser Herleitung sollte also folgendes sein:
 = \frac{U_0}{\sqrt{(Lw)^2 + R^2}} sin(\omega t -tan^{-1}(\frac{\omega L}{R})))
So der Ansatz:
<br />
u_R = i R
<br />
u_L = L \dot i
<br />
\to U_0 sin(\omega t) = iR + L\dot i )
danach dann die DGL:
)
Ansatz für die Inhomogene Lösung  - c_2 cos(\omega x)) ->
 + L\omega c_2 sin(\omega x) + R c_1 sin(\omega x) - R c_2 cos(\omega x) = U_0 sin(\omega x))
Durch Koeffizientenvergleich kam ich jetzt auf
^2 + R^2} \frac{R}{L\omega}, bzw
<br />
c_2 = \frac{U_0}{(L\omega )^2 + R^2})
Die homogene Gleichung lässt sich recht einfach zu  lösen. Für y ergibt sich also insegsamt:
^2 + R^2} (\frac{R}{L\omega} sin(\omega t) - cos(\omega t)) + Ae^{-\frac{R}{L}t})
Da y(0) = 0 ergibt sich ^2 + R^2}) und damit letztendendlichs:
^2 + R^2} ( \frac{R}{L\omega} sin(\omega t) - cos(\omega t) + e^{-\frac{R}{L}t}))
Da es ja um das rein periodische Verhalten geht, bildet man den Grenzwert der Gleichung und erhält:
^2 + R^2} ( \frac{R}{L\omega} sin(\omega t) - cos(\omega t)))
Nun kommt man wieder zu einer Summe zweier phasenverschobener Sinuskurven mit unterschiedlicher Amplitude und gleicher Frequenz, gleichzeitig stößt man auf das erste Problem beim Berechnen von  (siehe Beitrag GvC-> Addition zweier Sinusfunktionen):
^2 + R^2} \sqrt{ {\frac{R} {L\omega}}^2 + 1} \neq \frac{U_0}{\sqrt{(\omega L)^2 + R^2}}) (siehe Amplitude der Zielfunktion I(t))
Irgendwo scheint da ein Fehler zu stecken :S
MfG Dooku
PS: Ich hoffe ich konnte das knapp aber dennoch verständlich darlegen; hatte in der letzten Zeit wenig Zeit, deswegen die Verzögerung bei der Antwort  |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 04. März 2013 20:20 Titel: |
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Ich werde Deine Überlegungen nicht weiter kommentieren, will nur anmerken, dass in meiner Herleitung an keiner einzigen Stelle ein experimentelles Ergebnis zugrundegelegt wird. Auch ich bin streng deduktiv vorgegangen auf der Grundlage bekannter Grundgesetze: Maschensatz und Strom-Spannungs-Beziehung an den Elementen R und L.
Es ist schnurzpiepegal, ob ich eine Spannung oder einen Strom vorgebe. Der prinzipielle Zusammenhang zwischen Spannung und Strom wird immer derselbe sein. Bei einer Reihenschaltung ist es sinnvoll die Größe zugrundezulegen, die allen Elementen gemeinsam ist; und das ist nun mal der Strom. Das machst du im Gleichstromfall ganz genauso. Du gibst Dir einen Strom vor (das ist keine experimentell ermittelte Größe!) und wendest den Maschensatz und die Strom-Spannungs-Beziehung an den in Reihe liegenden Elementen an.
Wenn Du im Ergebnis herausbekommst, dass
)
dann ist das gleichbedeutend mit
unabhängig davon, ob bei einer konkreten Aufgabe der Strom oder die Spannung vorgegeben ist.
Bei einer Parallelschaltung gibst Du Dir dagegen sinnvollerweise die Spanung vor.
Was ich also in meiner Herleitung nachgewiesen habe ist, dass bei einem sinusförmigen Strom durch eine Reihenschaltung von R und L die Gesamtspannung ebenfalls sinusförmig ist und gegenüber dem Strom eine bestimmte Phasenverschiebung hat. Dann ist (analog zum Gleichstrombeispiel) der Rückschluss zwingend, dass eine sinusförmige Spannung an einer Reihenschaltung von R und L einen sinusförmigen Strom erzwingt, der gegenüber der Spannung eine bestimmte Phasenverschiebung hat. Der Scheitelwert dieses Stromes lässt sich aus meiner Herleitung direkt ablesen. Denn dort war festgestellt worden, dass
woraus zwingend folgt, dass
^2}})
Was die Phasenlage angeht, ist die ebenfalls aus meiner Herleitung abzulesen. Denn dort war festgestellt worden, dass
Daraus folgt zwingend, dass
Wenn Du Dir  vorgibst (das hast du in Deinem vorigen Beitrag ja getan) dann ergibt sich die Phsenlage des Stromes zu
Demzufolge ergibt sich bei einer vorgegebenen Spannung von
})
an einer Reihenschaltung von R und L ein Strom von
^2}}\cdot\sin{\left( \omega t-\arctan{\frac{\omega L}{R}}\right)}) |
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Dooku
Gast
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| Dooku Verfasst am: 04. März 2013 22:30 Titel: |
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Du sagst doch selbst, dass deine Herleitung auf dem Strom aufbaut. Die Frage ist, woher kennst du denn das Gesetz für den Verlauf des Stroms, wenn nicht aus einem Experiment? Das Verhalten der Spannung hingegen ist schon vorher bekannt, da es aus einem allgemeinen gültigen Gesetz geschlossen werden kann. Natürlich ist die Herführung der allgemeinen Größe aus einer speziellen Größe auch ein Beweis, allerdings bringt der umgekehrte Weg(was ich mit deduktiv meine) teilweise ein weit aus tieferes Verständins mit sich, um das es mir hier ja grade geht. Die Frage ist nicht das es so ist, sondern weshalb. Oder profan ausgedrückt: Wenn ich ein Buch auf den Boden schmeiße kann ich dadurch die Gravitation beschreiben, weiß aber noch lange nicht warum das Buch jetzt wirklich runtergefallen ist. Ich hoffe ich konnte meinen Standpunkt etwas besser verdeutlichen.[/quote] |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 05. März 2013 12:33 Titel: |
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| Dooku hat Folgendes geschrieben: | | Du sagst doch selbst, dass deine Herleitung auf dem Strom aufbaut. Die Frage ist, woher kennst du denn das Gesetz für den Verlauf des Stroms, wenn nicht aus einem Experiment? |
Das ist doch Quatsch. Ich kann Dir versichern, dass ich kein Experiment vorher gemacht habe. Sondern ich habe nachgewiesen, dass einem sinusförmigen Strom eine sinusförmige Spannung zugrundeliegt. Wenn ich also eine sinusförmige Spannung anlege, ergibt sich ein sinusförmiger Strom.
Genauso gut wie Du eine Spannungsquelle mit sinusförmiger Spannung als gottgegeben voraussetzt, setze ich eine Stromquelle mit sinusförmigem Strom voraus. Was ist dagegen einzuwenden?
| Dooku hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage ist nicht das es so ist, sondern weshalb. |
Und gerade das "Weshalb" habe ich nachgewiesen. Weshalb es so ist, liegt an der Strom-Spannungs-Beziehung an den beiden Elementen (uR=i*R und uL=L*di/dt bzw. i=uR/R und i=(1/L)*int(uL dt)) und am Maschensatz.
Na ja, ich hoffe Du wirst glücklich mit Deiner Sichtweise. |
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