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Spurnorm berechnen
 
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MI



Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München

Beitrag MI Verfasst am: 16. Dez 2012 15:59    Titel: Spurnorm berechnen Antworten mit Zitat

Hallo allerseits,

es geht eigentlich um eine (bzw. zwei) einfache Rechnungen, die ich nicht hinbekomme.

Gemeint ist hier https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/CS766/LectureNotes/20.pdf das Beispiel 20.1. die Berechnung der Spurnorm in beiden Fällen. Der einfachere Fall sollte der untere sein.

For convenience schreibe ich das mal hier rein:

Wir betrachten . Im Grunde geht es nur darum folgendes Ergebnis nachzuturnen:



Dabei haben wir zwei Quantenkanäle gegeben und ist der maximal verschränkte Zustand auf .

Es ist sogar angegeben, dass gilt:
und

wobei S und R die Projektionen auf den symmetrischen und antisymm Unterraum von sind.
Ich möchte also rechnen:



Und das klappt nicht - irgendwo liegt ein Fehler:
Es gilt:

Also:

weil die Projektoren orthogonal sind. Jetzt sind die Projektoren gegeben durch (jedes Matrixelement ist eine n-dim. Einheitsmatrix mal dem Eintrag):



wenn man das mal eingibt, bekommt man eine Matrix unter der Wurzel der Form:

wobei

Diagonalisieren ergibt die Eigenwerte 2a und 2b.
Wurzelziehen und wir haben


Irgendwas muss da grundlegend schieflaufen...
Im Grunde frage ich mich auch, wie das ganze im Fall zu diesem Ergebnis kommt, aber vielleicht mache ich erst einmal nur die eine Rechnung.

Gruß
MI
MI



Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München

Beitrag MI Verfasst am: 16. Dez 2012 17:49    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, da stimmt natürlich so einiges nicht...
Die Angaben von S und R sind Käse, das sind natürlich Tensorprodukte, also kann ich so nicht rechnen.

Eigentlich gilt:


wobei das Basiselement mit einem Eintrag in der a-ten Zeile, b-ten Spalte ist.

Damit muss die Rechnung natürlich anders aussehen. Ich muss noch einmal darüber nachdenken.
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