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Definition der Temperatur über kinetische Gastheorie
 
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0815-chemiker



Anmeldungsdatum: 01.03.2012
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Beitrag 0815-chemiker Verfasst am: 13. Okt 2012 13:17    Titel: Definition der Temperatur über kinetische Gastheorie Antworten mit Zitat

Hallo zusammen!

Laut kinetischer Gastheorie ist die Temperatur ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Gasteilchen:



Steht in dieser Formel für die mittlere kinetische Energie der Translation der Gasteilchen? Bedeutet das, dass jeder Freiheitsgrad der Translation 0,5 * kB * T dazu beiträgt?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Okt 2012 13:25    Titel: Antworten mit Zitat

Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ideales_Gas
http://de.wikipedia.org/wiki/Temperatur#Ideales_Gas
http://de.wikipedia.org/wiki/Freiheitsgrad

Zitat: Das ideale Gas ist eine Modellvorstellung, die gut geeignet ist, um Grundlagen der Thermodynamik und Eigenschaften der Temperatur zu illustrieren. Dem Modell zufolge sind die Teilchen des Gases punktförmig, können aber dennoch elastisch gegeneinander und gegen die Gefäßwand stoßen. Ansonsten gibt es keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen. Das ideale Gas ist eine gute Näherung für Gase mit Atomen als kleinste Teilchen. Moleküle können rotieren oder vibrieren und können daher nicht als punktförmige Objekte vereinfacht werden

Für ein reales Gas spielen natürlich auch innere Freiheitsgrade eine Rolle. Sobald diese jedoch angeregt werden können, darf man normalerweise nicht mehr davon ausgehen, dass es die Näherung eines idealen Gases sinnvoll ist.

Und damit wird auch die "3" als die Anzahl der ausschließlich translatorischen Freiheitsgrade erklärbar.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 13. Okt 2012 13:43    Titel: Antworten mit Zitat

Die Definition der thermodynamischen Temperatur erfolgt makroskopisch und unabhängig von solchen mikroskopischen Modellen.
0815-chemiker



Anmeldungsdatum: 01.03.2012
Beiträge: 11

Beitrag 0815-chemiker Verfasst am: 13. Okt 2012 13:45    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Für ein reales Gas spielen natürlich auch innere Freiheitsgrade eine Rolle.

Meinst du damit die Freiheitsgrade von Rotationen und Schwingungen?

Ich habe jetzt aus deinen gegebenen Links (v.a. der 2. Link) folgendes entnommen: Da das Modell des idealen Gases u.a. annimmt, dass die Gasteilchen punktförmig sind, ist für die Teilchen des idealen Gases nur die Bewegung in den drei Raumrichtungen möglich. Ein Punkt kann weder rotieren noch schwingen, sodass der Temperaturbegriff ausschließlich aus der mittleren Translationsenergie definiert wird:

Bei einem realen Gas sind zusätzlich noch Schwingungen und Rotationen möglich. Auch in diesen Bewegungen stecken Energien (Rotations- und Schwingungsenergien), sodass für die Temperatur nicht nur die Translationsfreiheitsgrade entscheidend sind, sondern auch jene aus Rotationen und Schwingungen.

Bitte korrigiert mich, wenn etwas nicht richtig dargestellt ist.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 13. Okt 2012 13:50    Titel: Antworten mit Zitat

Die Unterscheidung Ideale Gase / reale Gase hat mit der eventuellen Wechselwirkung der Teilchen zu tun und nicht mit der Zahl der Freiheitsgrade.
0815-chemiker



Anmeldungsdatum: 01.03.2012
Beiträge: 11

Beitrag 0815-chemiker Verfasst am: 13. Okt 2012 13:55    Titel: Antworten mit Zitat

Und spielen denn die Freiheitsgrade aus Rotationen und Schwingungen bzgl. der Temperatur eine Rolle? Laut der Formel



ja nicht, weil da nur die mittlere kinetische Energie auftaucht, Rotations- und Schwingungsenergien jedoch nicht.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Okt 2012 14:12    Titel: Antworten mit Zitat

Passt

(aber wie franz anmerkt würde ich das nicht als Definition der Temperatur sehen, sondern um deren Eigenschaften im Spezialfall des idealen Gases)

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franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 13. Okt 2012 14:14    Titel: Antworten mit Zitat

Auf jeden Freiheitsgrad entfällt im Mittel 1/2 k T.

Der Haken ist jedoch, wieweit bestimmte Freiheitsgrade (meinetwegen Schwingungen) überhaupt aktiv / besetzt sind, ab welcher Temperatur - und das geht in Richtung Quantenmechanik.
0815-chemiker



Anmeldungsdatum: 01.03.2012
Beiträge: 11

Beitrag 0815-chemiker Verfasst am: 13. Okt 2012 14:37    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für eure Antworten.

Ich habe mir zu meinem Problem noch ein hypothetisches Gedankenexperiment ausgedacht, das ich gerne diskutieren würde:

Gas A sei einatomig --> nur Translation.
Gas B sei zweiatomig --> Translation, 2 Rotationen, 1 Schwingung möglich.

Beide Gase sollen in der gleichen Teilchenzahl N vorhanden sein. Beiden Gasen führe ich jetzt jeweils einen gewissen Energiebetrag E zu. Ich nehme im Folgenden den Gleichverteilungssatz der Energie an. Das von Franz angesprochene Problem mit der Quantelung von Schwingungen und Rotationen soll nicht bestehen (also Rotationen und Schwingungen können problemlos angeregt werden).

Unter den beiden gemachten Annahmen würde sich ja die zugeführte Energie E auf alle vorhandenen Freiheitsgrade verteilen. Also beim Gas A auf die 3 Freiheitsgrade der Translation. Bei Gas B sind ja ein paar mehr Freiheitsgrade vorhanden (weil noch Rotationen und Schwingungen), wodurch sich beim Gas B im Mittel auf die Freiheitsgrade der Translation weniger Energie verteilen würde.

Besitzt Gas A dann eine höhere Tempertur als Gas B? Oder sind die Temperaturen gleich?

PS: Etwaige Massenunterschiede zwischen den Gasteilchen sollen unberücksichtigt bleiben.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Okt 2012 15:31    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn du das genau nachlesen willst, dann schau mal in ein gutes Skript (oder vermutlich in den Landau/Lifschitz). Die generelle Behandlung funktioniert über die sogenannte Zustandssumme Z, die freie Energie F, sowie daraus abgeleitet die Zusammenhänge für S, C, P etc.

Im allereinfachsten Fall kann man zusätzliche Freiheitsgrade wie z.B. quantisierte Vibrationen oder Rotationne (z.B. in zweiatomigen Molekülen) unmittelbar als Freiheitsgrade addieren. Betrachtet man einen Rotor mit n Spinzuständen so folgt



Klassisch würde man ein anderes Verhalten erwarten, da z.B. eine Rotation immer drei nicht-quantisierte rotatorische Freiheitsgrade (entsprechend der drei Rotationsachsen) der mitbringt.

Betrachtet man quantenmechanische Vibrationen mit n Zuständen (näherungsweise wie in einem qm harmonischen Oszillator) so gilt ein ähnliches Vorgehen. Wiederum würde man jedoch klassisch ein anderes Verhalten erwarten, da eine Vibration (eine Feder) immer nur einen einzigen Freiheitsgrad mitbringt.

Last but not least muss man immer beachten, dass nur die effektiv anregbaren Freiheitsgrade beitragen, d.h. für quantisierte Zustände ist das Verhalten entsprechend der jeweils herrschenden Temperatur unterschiedlich und in erster Näherung würde man statt (3+N) soetwas wie (3+n(T)) erwarten.

Grundsätzlich hast du aber mit deiner Vermutung recht. Die Addition zusätzlicher Freiheitsgrade führt aufgrund der Verteilung der Energie auf diese Freiheitsrgde zu einer anderen Temperatur bei gleicher Energiezufuhr. Im Sinne der obigen rechnung bedeutet dies explizit, dass sich die freie Energie sowie insbs. die Wärmekapazität (als Funktion der Freiheitsgrade) ändert.
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0815-chemiker



Anmeldungsdatum: 01.03.2012
Beiträge: 11

Beitrag 0815-chemiker Verfasst am: 13. Okt 2012 15:47    Titel: Antworten mit Zitat

Langsam kommt Licht ins Dunkle^^

Vielen Dank.
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 3401

Beitrag DrStupid Verfasst am: 13. Okt 2012 16:04    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Last but not least muss man immer beachten, dass nur die effektiv anregbaren Freiheitsgrade beitragen, d.h. für quantisierte Zustände ist das Verhalten entsprechend der jeweils herrschenden Temperatur unterschiedlich und in erster Näherung würde man statt (3+N) soetwas wie (3+n(T)) erwarten.


Ein gutes Beispiel ist trockene Luft. Als (größtenteils) zweiatomiges Gas sollte sie 3·2=6 Freiheitsgrade haben - nämlich 3 Translations-, 2 Rotations- und einen Schwingungsfreiheitsgrad. Die Valenzschwingung ist aber so energiereich, dass sie unter Normalbedingungen kaum angeregt wird. Praktisch sind es deshalb nur 5 Freiheitsgrade.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Okt 2012 16:17    Titel: Antworten mit Zitat

Und gleich noch eine Warnung. Im thermodynamischen Gleichgewicht bei einer Temperatur T sind ja alle Energien vertreten E - nur eben mit einer ggf. sehr geringen (exponentiell abfallenden) Wahrscheinlichkeit exp(-E/kT). D.h. dass zu einer Zustandssumme Z, aus der man im Rahmen der statistischen Mechanik die thermodynamischen Eigenschaften ableiten kann, alle Energien beitragen. Für ein statistischen Ensemble mit diskreten Zuständen n und Energie E sowie Entartungsgrad g(E) gilt



D.h. es tragen immer alle Freiheitsgrade (Zustände) zu den thermodynamischen Eigenschaften bei. Dabei sind die Beiträge höherer Energien eben unterdrückt.

(übrigens ist aber genau deshalb die spezifische Wärmekapazität keine Konstante)

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0815-chemiker



Anmeldungsdatum: 01.03.2012
Beiträge: 11

Beitrag 0815-chemiker Verfasst am: 13. Okt 2012 17:37    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
d.h. es tragen immer alle Freiheitsgrade (Zustände) zu den thermodynamischen Eigenschaften bei

Und die Temperatur ist ja eine thermodynamische Eigenschaft...

Ich habe noch eine Frage zu den Freiheitsgraden: Ein 2atomiges Gas kann ja genau eine Schwingung ausführen. Zählt das als ein Freiheitsgrad? Eigentlich ist doch in einer Schwingung sowohl eine potentielle Energie als auch eine kinetische Energie vorhanden*. Also doch 2 Freiheitsgrade pro Schwingung?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Okt 2012 17:55    Titel: Antworten mit Zitat

Klassisch wäre das ein kontinuierlicher Freiheitsgrad (eine "Feder"). Quantenmechanisch wären das n=0,1,...N-1 Freiheitsgrade wobei 0 dem Grundzustand entspricht und N (in einer geeigneten Zählweise) dem ersten ungebunden Zustand entspräche, wobei hier das Molekül aufbricht. In diesem Energiebereich bricht jedoch der o.g. Ansatz zusammen, man muss also genügend kleine Temperaturen betrachten
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franz



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Beitrag franz Verfasst am: 14. Okt 2012 05:19    Titel: Antworten mit Zitat

0815-chemiker hat Folgendes geschrieben:
Ein 2atomiges Gas kann ja genau eine Schwingung ausführen. Zählt das als ein Freiheitsgrad?

Das einzelne Molekül hat mechanisch gesehen drei Freiheitsgrade der Translation (Bewegung als ganzes), zwei der Rotation und einen der Schwingung.
0815-chemiker



Anmeldungsdatum: 01.03.2012
Beiträge: 11

Beitrag 0815-chemiker Verfasst am: 14. Okt 2012 10:04    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank nochmal an alle.
Max Hombsch
Gast





Beitrag Max Hombsch Verfasst am: 29. Sep 2013 15:44    Titel: Es gibt mehrere Temperaturen Antworten mit Zitat

Die Diskussion ist zwar wahrscheinlich schon beendet, aber ich möchte dies für nachfolgende Leser richtigstellen:

Die Temperatur leitet sich meines Wissens nach tatsächlich nur von der mittleren kinetischen Energie der Teilchen ab.

Hat ein Teilchen Rotationsfreiheitsgrade, so wird in diesen zusätzlich Energie gespeichert, was eine höhere Wärmekapazität zur Folge hat. Bei gleicher Temperatur, also gleicher mittlerer Energie der Teilchen ist also durch die Rotation mehr Energie gespeichert.

Vibrationen und Elektronenanregungen werden erst bei höheren Temperaturen aktiv. Das ist der Grund, warum sich die Wärmekapazität bei sehr hohen Temperaturen erhöht.

Im Zweifelsfall sollte man tatsächlich Fachliteratur zur Rate ziehen, aber Zustandssummen muss man nicht berechnen.

Gruß
Max
Jayk



Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450

Beitrag Jayk Verfasst am: 29. Sep 2013 18:44    Titel: Re: Es gibt mehrere Temperaturen Antworten mit Zitat

Max Hombsch hat Folgendes geschrieben:
Die Diskussion ist zwar wahrscheinlich schon beendet, aber ich möchte dies für nachfolgende Leser richtigstellen:

Die Temperatur leitet sich meines Wissens nach tatsächlich nur von der mittleren kinetischen Energie der Teilchen ab.

Hat ein Teilchen Rotationsfreiheitsgrade, so wird in diesen zusätzlich Energie gespeichert, was eine höhere Wärmekapazität zur Folge hat. Bei gleicher Temperatur, also gleicher mittlerer Energie der Teilchen ist also durch die Rotation mehr Energie gespeichert.

Vibrationen und Elektronenanregungen werden erst bei höheren Temperaturen aktiv. Das ist der Grund, warum sich die Wärmekapazität bei sehr hohen Temperaturen erhöht.

Im Zweifelsfall sollte man tatsächlich Fachliteratur zur Rate ziehen, aber Zustandssummen muss man nicht berechnen.


Hier wäre ich aber mit der Formulierung vorsichtig. Die Temperatur ist definiert als



Rotationsfreiheitsgrade fließen also nicht in die Temperatur ein, wohl aber in die innere Energie (die mittlere innere Energie pro Freiheitsgrad ist ). Wenn diese vorhanden sind, ist also die molare Wärmekapazität entsprechend größer (f = Anzahl der Freiheitsgrade).

Ich schreibe das nur deshalb, damit man nicht auf die Idee kommt, in kinetische Energie noch die Rotation herein interpretieren zu wollen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 14065

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Sep 2013 19:05    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, die Definition auf Basis von Entropie S und Energie E eines Systems ist allgemeingültig



In der klassischen bzw. quantenmechanischen statistischen Mechanik gilt dabei





Die Freiheitsgrade sind dabei implizit in der Zustandsdichte Omega bzw. dem Dichteoperator rho enthalten. Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass sie auch für Systeme gilt, bei denen eine Geschwindigkeit v nicht definiert werden kann (Photonengas, Spinsysteme, Quantenfeldtheorie)

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