Inertialsysteme - Beschleunigungstransformation

Jugendkartslalom · Anmeldungsdatum: 21.09.2012 Beiträge: 8

Hallo zusammen,

ich brauche eure Hilfe bei der Herleitung der Beschleunigungstransformation in zwei Inertialsystemen (S und S´).
Die Geschwindigkeitstransformation entlang der x-Achse für
[latex] u_{x} [/latex]
wird ja über
[latex] u_{x}=\frac{dx}{dt} [/latex]
berechnet. Doch wie berechne ich jetzt
[latex] a_{x} [/latex].

Auch über ax=dv/dt ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Ich bin mir nicht sicher, ob ich weiß was du wirklich willst.

Ich interpretiere dich so: du hast zwei Inertialsysteme S, S' mit Koordinaten (t,x) und (t',x'). Die Transformationsvorschrift lautet

mit

Dann gilt auch infinitesimal

und somit

Im letzten Schritt habe ich dt gekürzt und

verwendet. D.h. also

Soweit ist dir das wohl klar.

Suchst du nun nach einem Weg, eine analoge Herleitung für die Lorentz-Transformation der Beschleunigung zu finden?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

OK, noch ein Hinweis:

Es gilt

Dabei habe ich berücksichtigt, dass zwar du'/dv ungleich Null wäre, dass jedoch der durch Nachdifferenzieren entstehende Term dv/dt verschwindet (da es sich um eine Transformation mit konstanter Geschwindigkeit handelt).

Außerdem habe ich natürlich du/dt = a gesetzt.

Nun sind nur noch die beiden verbleibenden Differentialquotienten zu berechnen. Im ersten verwendest du die oben hergeleitet Formel u' = u'(u,v). Im zweiten setzt du für dt' wieder den ganz zu Beginn hergeleiteten Ausdruck mit dt und dx ein.

Jugendkartslalom · Anmeldungsdatum: 21.09.2012 Beiträge: 8

Erst einmal danke für die schnellen Antworten und sorry das ich mich so unklar ausgedrückt habe.
Ich habe 2 Inertialsysteme S und S´ mit den Koordinatenachsen x, y, und z. S´ soll beschleunigt werden.
Was ich brauche ist die Herleitung zur finalen Formel der Beschleunigungstransformation.
Ich weiß jedoch nicht, wieso Du auf diesen gamma Wert kommst, ich hab da

gamma = 1/[Wurzel]1-v^2/c^2

Für ux hab ich dann mit dem Wert:

ux= (ux`+v) / (1+(v/c^2) ux`)

So haben wir das in der Schule ausgerechnet.

[quote] Suchst du nun nach einem Weg, eine analoge Herleitung für die Lorentz-Transformation der Beschleunigung zu finden? [/quote]

Jugendkartslalom · Anmeldungsdatum: 21.09.2012 Beiträge: 8

[quote="Jugendkartslalom"]Erst einmal danke für die schnellen Antworten und sorry das ich mich so unklar ausgedrückt habe.
Ich habe 2 Inertialsysteme S und S´ mit den Koordinatenachsen x, y, und z. S´ soll beschleunigt werden.
Was ich brauche ist die Herleitung zur finalen Formel der Beschleunigungstransformation.
Ich weiß jedoch nicht, wieso Du auf diesen gamma Wert kommst, ich hab da

gamma = 1/[Wurzel]1-v^2/c^2

Für ux hab ich dann mit dem Wert:

ux= (ux`+v) / (1+(v/c^2) ux`)

So haben wir das in der Schule ausgerechnet.

[quote] Suchst du nun nach einem Weg, eine analoge Herleitung für die Lorentz-Transformation der Beschleunigung zu finden? [/quote]
Genau!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

theoretische Physiker sind faul und setzen oft c=1; mach das mal in deinen Formeln, dann kommen die meinigen raus; ist damit die Idee bisher klar?

Jugendkartslalom · Anmeldungsdatum: 21.09.2012 Beiträge: 8

Okay. Wieso bin ich nicht drauf gekommen ? :hammer:

Könntest Du mit vielleicht bei dem Differentialquotienten weiterhelfen sitze da grad mächtig auf nem platten Reifen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

na komm; ein Ansatz wenigstens

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Ein paar Hinweise:

Damit berechnest du

in dem du dt im Nenner ausklammerst, was dir dx/dt = u liefert, und zuletzt dt kürzt.

Dann benutzt du

ganz normal zur Berechnung von

Viel wichtigiger ist die Frage, ob du verstanden hast, wie der Ausdruck mit den drei Differentialquotienten entsteht.

Jugendkartslalom · Anmeldungsdatum: 21.09.2012 Beiträge: 8

Okay für dt/dt´ habe ich jetzt : (k für gamma)

1/ k(1-vu)

Bei du´/du:
Auf der rechten Seite der Gleichung ist ja "nur" u´ für du´ eingesetzt worden, verfahre ich für "du" da analog indem ich u=dx/dt einsetze?

Bzw. u=(ux´+v) / (1+v*ux´)

Danke für den Hinweis.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Jugendkartslalom · Anmeldungsdatum: 21.09.2012 Beiträge: 8

Nein, nicht wirklich.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Also gut, die Idee ist folgende

nun betrachte ich t' = t'(t) als Funktion von t und verwende die Kettenregel. Dann ist u'(t') = u'( t(t') ) und ich differenziere u' nach t, sowie t(t') nach t'. Daraus folgt

Nun kenne ich aber die Abhängigkeit u'(t) nicht direkt, denn u' ist ja gegeben als Funktion von u und v. Die t-Abhängigkeit versteckt sich dabei in u(t), denn v ist ja konstant. Also setze ich wieder mit der Kettenregel u'(t) = u'( u(t) ), d.h. ich differenziere u' nach u sowie u nach t.

Der mittlere Term ist aber gerade a = du/dt und damit folgt

Jugendkartslalom · Anmeldungsdatum: 21.09.2012 Beiträge: 8

Okay. Ich muss jetzt also nach u ableiten, korrekt?

Das wäre dann ja, was ich eher nicht glaube:

du´/du=1/2 *du * ((u-v)/1-vu)^2

Ich häng fest^^

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Du musst genau folgenden Differentialquotienten berechnen: