Wellenfunktion und Schrödingergleichung - Verständnisproblem

fruity · Anmeldungsdatum: 19.07.2012 Beiträge: 7

Hallo,
ich interessiere mich für die Quantenmechanik und versuche mich im Selbststudium durchzuschlagen. Allerdings besteht ein Verständnisproblem, wenn es um die Wellenfunktion geht. Ich habe mir vorgestellt, dass ich der Wellenfunktion jetzt zum Beispiel beim Doppelspaltexperiment sage, was für Teilchen geschossen werden, wo die Spalte sind und dann für jeden Spalt eine Wellenfunktion berechne, die ich zusammenaddiere. Die Wellen sollten sich meines Erachtens nach in der Zeit ausbreiten, d.h. das Teilchen sollte sich wie eine Kugelwelle vom Spalt entfernen (naja, nur Richtung Photoplatte).
Wenn ich mir aber Quellen wie http://www.qudev.ethz.ch/phys4/phys4_fs08/phys4_L12_v1.pdf anschaue, so wäre die Wellenfunktion zeitunabhängig, da hier behauptet wird, dass sie das immer ist, wenn sich das Potenzial nicht im Laufen der Zeit ändert. Aber das kann ja nicht sein, die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen gerade 5cm vom Spalt entfernt befindet, ist ja nicht unabhängig von der Zeit, obwohl das Potenzial über die Zeit invariant ist.
An sich wüsste ich gerade nicht, wie ich die Wellenfunktion für das Doppelspatexperiment aus der Schrödingergleichung herleiten könnte. Ich hoffe, ich habe den Sachverhalt klar genug formuliert und ihr könnt mir helfen.
Liebe Grüße
fruity

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Die Wellenfunktion genügt zunächst der zeitabhängigen Schrödingergleichung

Im Falle eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators H (und damit eines zeitunabhängigen Potentials in H) ist ein sogenannter Separationsansatz erlaubt, d.h. man schreibt

für eine zeitunabhängige Wellenfunktion phi(x). psi(x,t,) bleibt dabei zeitabhängig.

Diese Wellenfunktion beschreibt dann auch nicht direkt die Bewegung eines Teilchens, sondern nur die Wahrscheinlichkeitsamplitude, in dem genannten Experiment ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte wäre dann

Diese ist zeitunabhängig da der komplexe Phasenfaktor bei der Bildung des Absolutquadrats wegfällt.

Im Falle des Doppelspaltes ist das o.g. Vorgehen noch mal erklärungsbedürftig.

A) Man betrachtet ja in diesem Experiment nicht ein Teilchen sondern ein Ensemble von (näherungsweise unendlich vielen) Teilchen. Das Experiment sei zeitunabhängig (obige Annahme), d.h. man denkt sich letztlich ein Ensemble von Teilchen, das sich durch das Experiment bewegt, wobei die Wahrscheinlichkeitsamplitude nun sogar nur für das Ensemble und nicht für ein einzelnes Teilchen gilt. Man erhält jedoch aus der Wellenfunktion (= der Wahrscheinlichkeitsamplitude) die statistische Häufigkeit für einen Teilchennachweis an einem bestimmten Ort. Das wäre die schwächste, sogenannte Ensemble-Interpretation. Man er

B) Man kann auch versuchen, tatsächlich ein einzelnes Teilchen zu modellieren. Dabei startet man jedoch nicht mit einer beliebigen Eigenfunktion der Schrödingergleichung, sondern man „konstruiert“ ein eng lokalisiertes Wellenpaket

mit einem Schwerpunkstimpuls P zu einer bestimmten Zeit t=0. Dieses repräsentiere nun ein einzelnes Teilchen. Anschließend ermittelt man die zeitabhängige Propagation dieses speziellen Wellenpakets mittels des sogenannten Zeitentwicklungsoperators

Wiederum erhält man auf einer Fläche hinter dem Doppelspalt eine Wellenfunktion, aus der man die statistische Häufigkeit für einen Nachweis dieses einen Teilchens berechnen kann.

fruity · Anmeldungsdatum: 19.07.2012 Beiträge: 7

So an sich habe ich das schon verstanden. Aber um mein Problem zu veranschaulichen, vereinfache ich das Problem ein wenig.
Nehmen wir an, wir haben ein Photon sehr genau lokalisiert (z. B. direkt an der Quelle). Nun haben wir dort das von dir erwähnte Wellenpaket.
Jetzt schauen wir 5s weg, und wissen, dass sich das Photon weit von der Quelle entfernt hat, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Photon an der Quelle aufhält, ist 0 (Photonen bewegen sich geradlinig mit Lichtgeschwindigkeit). Die Orte, an denen sich das Photon aufhalten kann, ergeben zusammen einen Ring. Laut der zeitunabh. SG allerdings ändern sich die Wahrscheinichkeiten nicht, sondern psi rotiert in der komplexen Ebene.