Entropie eines verschränkten Zustandes

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ich habe hier eine kleine Verständnisfrage, und zwar:

Ist die von-Neumann Entropie

eines verschränkten Zustandes immer null?

So, wie ich das verstanden habe, ist sie nur nicht null, wenn dem Zustand noch andere Teile beigefügt sind, die gemischt sind. Ist das richtig oder übersehe ich da was?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Die Entropie eines reinen Zustandes ist immer Null, denn der Dichteroperator ist dann ein Projektor auf einen eindimensionalen Unterraum.

Was meinst du mit "gemischt" bzw. "wenn dem Zustand noch andere Teile beigefügt sind, die gemischt sind"? "gemischt" im Sinne eines gemischten Zustandes? oder einer Linearkombination?

Wir hatten so eine Rechnung schon mal hier: http://www.physikerboard.de/ptopic,168490,entropie+dichteoperator.html#168490

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Sorry Latex funktioniert grade nicht, ich kann keine einzige Formel sinnvoll eingeben. Prinzipiell habe ich aber als Beispiel einen Bellzustand addiert mit einem maximal gemischten Zustand gemeint, zum Beispiel 1/4 mal die Einheitsmatrix.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Ja, LaTeX funktioniert gerade nicht. Ich schreibe das trotzdem mal hin, evtl. wird's ja wieder besser.

Ein Bellzustand ist ja nur ein spezieller Zweiteilchen-Zustand. Man kann also in diesem Zweiteilchen-Spin-Hilbertraum eine Basis der Form

einführen. Dabei ist die Symmetrisierung (Antisymmetrisierung) für Bosonen (Fermionen) nicht berücksichtigt.

Ein allgemeiner verschränkter, reiner Zustand wäre nun

Der Dichteoperator dieses reinen Zustandes wäre dann

Man kann nun aber auch eine Basistransformation durchführen, so dass dieser spezielle Zustand ein Basiszustand wird. Ein reiner Zustand wäre dann also in dieser neuen Basis von der Form eines Projektors diag(1,0,...), ein maximal gemischter Zustand wäre von der Form diag(1/n, 1/n, ...) für eine n*n Matrix. Es reicht m.E. zunächst aus, sich diese speziellen (diagonalisierten) Dichtematrizen anzuschauen.

Was meinst du nun mit "einen Bellzustand addiert mit einem maximal gemischten Zustand"?

Dichteoperatoren sind Operatoren mit den wesentlichen Eigenschaften
- Spurklasse mit Spur 1
- positiv semidefinit

Du kannst aber nicht einfach Dichtematrizen addieren, denn die Summe zweier Dichtematrizen ist i.A. keine Dichtematrix mehr. Insbs. die erste Eigenschaft wird bei Addition i.A. verletzt, denn für Diagonalmatrizen A und B jeweils mit tr(A) = tr(B) = 1 gilt tr(A+B) = tr(A) + tr(B) = 2.

Ist es so, dass du z.B. so etwas wie diag(1-x, x/n, x/n, ...) betrachten möchtest? Das kannst du tun, und im Grenzfall x=0 hast du wieder einen reinen Zustand. Die Entropie kannst du für x>0 sofort ablesen.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Hmm ja eine Dichtematrix wollte ich natürlich nicht addieren. Ich meinte beispielsweise einen gegebenen Zustand

mit dem Bellzustand

aus

Dabei ist die verrissene 1 die Einheitsmatrix, die normalerweise mit diesem Code korrekt dargestellt wird.

Mein Punkt ist, dass das gegebene

komplett verschränkt wäre und somit die Entropie null hätte, wenn der Teil mit der Einheitsmatrix nicht draufaddiert wäre. So würde es dann von der Wahrscheinlichkeit p abhängen, ob der Zustand verschränkt ist oder nicht (Das wurde mit dem PPT-Kriterium für dieses Beispiel dann ausgerechnet).

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Du addierst aber trotzdem zwei Dichtematrizen.

Mach's nicht zu kompliziert. Du hast in einer beliebige Basis einen reinen Zustand. Bzgl. dieser Basis gibst du deine Dichtematrix an.

Der reine Zustand lautet

Der gemischte Zustand lautet in dieser Basis

Dass der Zustand |1> jetzt ein verschränkter Zustand ist, spielt für den Dichteoperator zunächst mal keine Rolle.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Interessant ... ja genau das hatte ich nicht gesehen, man darf sich ja eine andere Basis aussuchen. Aber ... was mache ich mit der neuen Basis, wenn ich zum Beispiel die Matrixdarstellung wissen will?
Für die Normalbasis bestehend aus 0 und 1 weiß ich ja zum Beispiel, dass

das Element der nullten Zeile und nullten Spalte ist (oder 1 wenn bei 1 anfängt zu zählen). Wie lese ich sowas denn für kompliziertere Basen, zum Beispiel in der eben hier neudefinierten?
Wäre das hier eine Matrix mit p , 0, 0 und 1-p und würde einer Diagonalisierung entsprechen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Du musst dir nur eine vernünftige Reihenfolge deiner Basiszustände überlegen, also z.B. {|00>, |01>, |10>, |11>} und diese dann den Zeilen und Spalten zuordnen, also {1,2,3,4}

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ah ja das macht Sinn. Meine Professorin hatte die damals immer andersrum angeordnet (Spalte, Zeile), obwohl ich (Zeile,Spalte) gewöhnt war, das hat mich immer verwirrt.