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QM_Gast
Gast
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 QM_Gast Verfasst am: 25. Jun 2012 10:49 Titel: Erwartungswert berechnen |
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Uuuuund zwar Folgendes. Gegeben sei der Rotationsoperator um die x-Achse:
 = e^{\frac{-i}{\hbar}\alpha \hat{S}_x})
Mit 
Wobei  die Spinmatrix bzgl. x-Achse bezeichnet. ) habe ich bereits in Matrixform aufgeschrieben. Sieht dann so aus:
= \begin{pmatrix} cos(\frac{\alpha}{2}) & -i sin (\frac{\alpha}{2}) & \\ -i sin (\frac{\alpha}{2}) & cos(\frac{\alpha}{2}) \end{pmatrix} )
Jetzt ist Folgendes gefragt:
Der Zustand  werde um den Winkel  gedreht:
 \left| \uparrow_z \right> = \left| \psi_{\alpha} \right> )
Wie lauten die Erwartungswerte von  und  als Funktion von ?
Frage: Wie habe ich die Aufgabe jetzt genau zu verstehen? Soll ich die Erwartungswerte von  im gedrehten Zustand  berechnen, also:
Ist das alles? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 11:57 Titel: |
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ja, so verstehe ich das
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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QM_Gast
Gast
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| QM_Gast Verfasst am: 25. Jun 2012 14:17 Titel: |
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Ok. Dann hätte ich noch eine Frage. Wenn ich weiß, dass gilt:
 , wobei hier der Drehimpulsoperator (und seine Komponenten) gemeint ist. Also dass  und  (ich lasse das Dach für "Operator-Zeichen" mal weg) gemeinsame Eigenzustände  besitzen. Und wenn weiterhin die Eigenwertgleichung gilt:
Dann weiß ich doch, dass auch gilt:
Zumindest wenn die Eigenzustände orthonormiert sind (steht in der Aufgabenstellung nichts zu, kann man davon im Regelfall ausgehen?).
Wie berechnet man denn dann jetzt entsprechend  und  ? Haben die nicht auch die exakt selben Eigenzustände |lm> und somit den gleichen Erwartungswert?!
Danke nochmal im Voraus. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 15:12 Titel: |
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Alle Drehimpulsoperatoren haben das selbe Spektrum, d.h. die selben Eigenwerte mit l(l+1) sowie m=-l, -l+1, ..., +,l aber die Eigenzustände sind natürlich verschieden.
Du schreibst also besser
} = l(l+1)|l\,m\rangle^{(i)})
} = m|l\,m\rangle^{(i)})
wobei das (i) anzeigt, dass die Basis bzgl. der i-ten Komponente des Drehimpulsoperators definiert ist.
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QM_Gast
Gast
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| QM_Gast Verfasst am: 25. Jun 2012 15:45 Titel: |
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Hm, vielleicht ist das jetzt auch zu einfach (ist auch nur eine 1-Punkte-Aufgabe), aber irgendwie sehe ich immer noch nicht, wie ich die Erwartungswerte daraus berechnen kann für  .  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 15:59 Titel: |
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Bzgl. welches Zustandes sollst du denn die Erwartungswerte berechnen?
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QM_Gast
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| QM_Gast Verfasst am: 25. Jun 2012 16:05 Titel: |
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Alle bzgl. 
Die Leiteroperatoren  und  stehen mir auch zur Verfügung. Aber irgendwie sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 16:41 Titel: |
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was ist dein |lm>? so wie du es jetzt schreibst ist es |lm> bzgl. L³, in deinem vorigen Post wolltest du aber auf allgemeine Eigenzustände bzgl. verschiedener Drehimpulskomponenten hinaus.
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QM_Gast
Gast
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| QM_Gast Verfasst am: 25. Jun 2012 16:52 Titel: |
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Aufgabe im Originalwortlaut:
und  besitzen gemeinsame Eigenzustände |lm>. Es gilt:
|lm> =  l(l+1)|lm>
=  m|lm>
Außerdem gilt:
 |lm> = -m(m \pm 1)}) |lm  1>
Wie lautet:
<lm||lm> |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 17:04 Titel: |
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OK, damit benötigst du die oben angesprochenn Eigenzustände zu i=1,2 nicht!
Die Rechnung ist ganz einfach:
z) den Erwartungswert bzgl. der z-Komponente kannst du direkt ausrechnen, da ja Eigenzustände bzgl. dieser Komponenten vorliegen
x+y) dafür schreibst du zunächst die x- und y-Komponenten des Drehimpulsoperators mittels der beiden Auf- und Absteiger um, denn deren Wirkung auf die Eigenzustände kennst du
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QM_Fragen
Gast
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| QM_Fragen Verfasst am: 25. Jun 2012 17:29 Titel: |
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Irgendetwas blicke ich da immer noch nicht.
x-Komponente: 
y-Komponente: 
Mittels Auf- und Absteiger umschreiben:
)
)
Daraus folgt dann:
-m(m+1)} L_x\left| l m +1 \right> + \hbar \sqrt{l(l+1)-m(m+1)} i L_y\left| l m +1 \right>)
-m(m-1)} L_x\left| l m -1 \right> - \hbar \sqrt{l(l+1)-m(m-1)} i L_y\left| l m -1 \right> )
Oder nicht soweit in Ordnung?
Und <L_z> wäre wie gesagt: <lm|L_z|lm> = h m. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 17:43 Titel: |
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Gegeben sind die Auf- und Absteiger ausgedrückt durch die x- und y-Komponenten; jetzt drücke doch einfach umgekehrt die x- und y-Komponenten durch die Auf- und Absteiger aus!
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QM_Gast
Gast
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| QM_Gast Verfasst am: 25. Jun 2012 17:55 Titel: |
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Für die x-Komponente:
Für die y-Komponente:
)
)
Soll man das jetzt wie ein LGS lösen? Also Zustand |lm> anwenden in Zeile 1. Dann L_x in Zeile 2 einsetzen. Dann nach L_y auflösen? |
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QM_Gast
Gast
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| QM_Gast Verfasst am: 25. Jun 2012 18:19 Titel: |
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=
-m(m+1)} \left| l m +1 \right> - \hbar \sqrt{l(l+1)-m(m-1)} \left| l m - 1 \right> = 2i L_y \left| l m \right>)
So, so weit komme ich bisher. Jetzt stellt sich noch die Frage wie man den Ausdruck:
umschreiben kann. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 21:37 Titel: |
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Ich rechne das mal für die einzelnen Operatoren vor
-m(m\pm m)}|l\,m\pm 1\rangle = \sqrt{l(l+1)-m(m\pm m)}\,\langle l\,m|l\,m\pm 1\rangle = \ldots \delta_{m,\,m\pm 1} = 0)
D.h. die Auf- und Absteiger haben verschwindenden Erwartungswert für Eigenzustände bzgl. der z-Komponente.
Wenn du also den Erwartungswert für die x- oder y-Komponenten des Drehimpulses in einem Eigenzustand bzgl. der z-Komponente berechnest, lautet das Ergebnis Null.
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