Drehimpuls-Operator - Vertauschungsrelationen - Seite 2

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Spielst Du an auf

?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich sag' mal ganz platt folgendes: der Term ergibt Null!

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Aha, das deckt sich aber nicht mit dem Ergebnis, das ich gerade hier gefunden habe:

Zeile 14: http://www.itp.phys.ethz.ch/education/lectures_hs08/QMI/qmi08-sol07.pdf

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

In der ersten Zeile steht, dass

ist, aber nicht, dass

ist? Oder sehe ich das falsch? Hier der relevante Ausschnitt:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Entweder, ich stehe total auf dem Schlauch, oder, ich bin zu blöd dafür.
Wie auch immer, Du wirst es besser wissen, als ich. Somit ist es = 0!
Meine Rechnung ist aber korrekt? Und gilt das dann auch für

?

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Also nochmal ganz langsam.

Zu berechnen ist der Kommutator

wobei r² eine etwas irreführende Schreibweise ist.

In Komponenten lautet dies

wobei über den Index i summiert wird. Der Index k bezeichnet die k-te Komponente des Drehimpulsvektors.

Die (Deine) Rechnung liefert einen Term der Form

was nichts weiter ist als die Indexschreibweise für

was bekanntermaßen Null ergibt.

In Indexschreibweise liefert der Ausdruck Null, da es sich um eine Summe der Form

handelt, wobei A für eine antisymmetrische und S für eine symmetrische Matrix steht. Eine derartige Summe ergibt immer Null.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Jetzt bin ich total verwirrt. Ich muss mir das erst mal verinnerlichen.
Anscheinend besteht das Problem wirklich in dem (mangelnden) Ver-
ständnis der Schreibweise. Für mich sind nämlich

und

nicht das
Gleiche! Das eine bezeichnet für mich den Operator des Drehimpuls-
Vektors und das andere den Operator der

-ten Komponente des
Drehimpuls-Vektors.

Hier mal die originalen (Teil-)Aufgaben. Sind meine Rechnungen denn OK?

EDIT: Ich glaub', ich hab's! Die Schreibweise mit dem LC-Symbol gibt JEDE
Komponente des Operators des Drehimpuls-Vektors wieder. Wenn ich also
den Kommutator

berechne und da Null rauskommt, dann zeige ich
allgemein, dass

Null ist ...?

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Herrlich, vielen Dank smile

Wenn ich Zeit finde, schreibe ich nachher noch meine
anderen Lösungen auf. Ansonsten gibt's dann einen neuen Thread (Aufgabe) Augenzwinkern