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Drehimpuls-Operator - Vertauschungsrelationen
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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 21. Jun 2012 21:42    Titel: Drehimpuls-Operator - Vertauschungsrelationen Antworten mit Zitat

Hallo,

Meine Frage:

Betrachtet werden soll der Drehimpuls- Operator mit den Kompo-
nenten . Zunächst sollen mittels der Heisenberg'schen Vertau-
schungsrelation für Orts- und Impuls-Operatoren einige Vertauschungsrelatio-
nen des Drehimpuls-Operators bewiesen werden, unter anderem die folgende:



Mein Ansatz:

Was ist die Heisenberg'sche Vertauschungsrelation für Orts- und Impulsopera-
toren? Zugegeben, ich habe EINE Vorlesung gefehlt, da muss das wohl vorge-
kommen sein?! Leider finde ich dazu nichts oder ich sehe den Wald vor lauter
Bäumen nicht. Zudem weiß ich nicht, wie definiert ist. Sonst würde ich den
Kommutator intuitiv einfach erst ein Mal hinschreiben bzw. ausschreiben und
dann weiterschauen.

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pressure



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Beitrag pressure Verfasst am: 21. Jun 2012 22:03    Titel: Antworten mit Zitat

Heisenberg'sche Vertauschungsrelation für Orts- und Impulsopera-
toren ist



bezeichnet einfach die i-te Komponente von
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516

Beitrag TruEnemy Verfasst am: 21. Jun 2012 22:43    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, damit ist also diese Vertauschungsrelation gemeint. Dass der Index i
die i-te Komponente des Drehimpuls-Operator angibt, ist mir schon bewusst.
Die obige Schreibweise mit dem Levi-Civita-Symbol ist nur 'ne andere für

oder nicht?

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Telefonmann



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Beitrag Telefonmann Verfasst am: 21. Jun 2012 23:12    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
oder nicht?

Das passt soweit.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 21. Jun 2012 23:49    Titel: Antworten mit Zitat

Es ist sicher einfacher, das mit dem epsilon-Symbol zu rechnen
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jarCrack



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Beitrag jarCrack Verfasst am: 22. Jun 2012 02:57    Titel: Antworten mit Zitat

http://www.knaak.bplaced.de/Physik/Texte/DrehimpulsoperatorKommutator.pdf
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 22. Jun 2012 07:00    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für den Link, die Sachen im Netz habe ich auch
schon gesehen, würde das aber gerne erst ein Mal sel-
ber durchrechnen. Mag sein, dass es mit dem Leva-Sym-
bol wohl einfacher ist, aber es will mir nicht wirklich
klar werden. Wenn ich nun mal die erste Komponente
von dem obigen Kreuzprodukt nehme, also x2p3-x3p2,
dann ist das doch eigentlich nichts anderes als ihquer,
da es doch der Kommutator [x2, p3] ist, oder nicht??

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TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 22. Jun 2012 07:07    Titel: Antworten mit Zitat

Es wird mit dem Epsilonsymbol nur dann einfacher, wenn man es eben formal damit durchrechnet und nicht wieder in Komponenten 1,2,3 aufdröselt; in dem Link ist es schon sehr kompliziert gemacht.

Alternativ verwendet man die Darstellung als Kreuzprodukt; dann ersetzt man den Impulsoperator durch die Ableitung (in der Ortsdarstellung) und verwendet die Rechenregeln für Kreuzprodukt und Rotation.

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Telefonmann



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Beitrag Telefonmann Verfasst am: 22. Jun 2012 07:53    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
dann ist das doch eigentlich nichts anderes als ihquer,
da es doch der Kommutator [x2, p3] ist, oder nicht??

Schau Dir noch mal den Heisenberg-Kommutator ganz genau an. Das Kronecker-Delta verknüpft die Indizes etwas anders.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 22. Jun 2012 09:13    Titel: Antworten mit Zitat

Richtig, da habe ich gepennt. Ich hab's jetzt und werd's
Euch nachher latexen. Ich hab's mit'm Kreuzprodukt gem..

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 22. Jun 2012 21:11    Titel: Antworten mit Zitat

Zunächst habe ich einfach mal das Kreuz-Produkt neu aufgeschrieben:





Soweit ist das ein schönes Ergebnis, aber es sollte eigentlich lauten ???

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Beitrag TomS Verfasst am: 22. Jun 2012 23:11    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast auch nicht allgemein berechnet sondern nur , wobei du i und j statt 1 und 2 verwendet hast. Du könntest jetzt das selbe für die anderen Kombinationen machen, oder du schreibst es wirklich mal allgemein hin


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Beitrag Telefonmann Verfasst am: 22. Jun 2012 23:15    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:

Hallo TruEnemy,

Diese Gleichung ist falsch, weil i,j,k unabhängig voneinander die Werte 1,2,3 annehmen darf. Wenn ich mal einen Teil deiner Gleichung:


mit i=j=k=1 anschaue, finde ich L_1 = 0, also Unsinn.

Lösung:
Ohne das LC-Symbol musst Du sämtliche Kombinationen für die Indizes durchrechnen, also 3*3*3=27 Kombinationen. Etliche davon sind trivial erfüllt (Kommutator = 0) und bei dem Rest wiederholt sich viel. Wenn dir das zuviel Arbeit ist, musst du formal mit dem LC-Symbol rechnen.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 22. Jun 2012 23:20    Titel: Antworten mit Zitat

schau dir mal seine Gleichung an; er setzt i=1, j=2, k=3 und rechnet das völlig korrekt durch, aber eben nur für genau diese festen Werte i=1, j=2, k=3.
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 22. Jun 2012 23:22    Titel: Antworten mit Zitat

Ich danke Euch für Eure Antworten. Mein Weg ist also zu kompliziert, schade.
Ich habe starke Probleme mit diesem LC-Symbol, ich komme damit nicht klar unglücklich

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Beitrag TomS Verfasst am: 22. Jun 2012 23:24    Titel: Antworten mit Zitat

Rechne doch einfach mal hier weiter


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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 22. Jun 2012 23:26    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, aber wie denn, wenn ich mit diesem LC-Symbol nicht klar komme ...
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Beitrag Telefonmann Verfasst am: 22. Jun 2012 23:38    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Danke, aber wie denn, wenn ich mit diesem LC-Symbol nicht klar komme ...

a) Man darf bei dem LC-Symbol für jeden Index (also i,j,k) die Werte 1,2,3 einsetzen

b) Haben zwei Indizes den gleichen Wert ist der Wert des Symbols = 0, z.B.

c) Ferner gilt per Definition

d) Pro Vertauschung zweier Indizes wird das Vorzeichen gewechselt, also

Schreibe Dir zur Übung alle 27 Fälle auf
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 23. Jun 2012 00:19    Titel: Antworten mit Zitat

Danke. Ich werde mir wohl das LC-Symbol genauer anschauen müssen,
ansonsten rechne ich mich schwindelig. Aber für heute ist der Kopf zu ...

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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 23. Jun 2012 09:37    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß zwar, was eine Permutation von 1,2,3 bezeichnet, aber mir ist schleierthaft,
was eine gerade bzw. ungerade Permutationen davon sein soll. Bitte um Erklärung!

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Beitrag Telefonmann Verfasst am: 23. Jun 2012 09:43    Titel: Antworten mit Zitat

Es geht um die Anzahl der Vertauschungen zweier Indizes und die kann gerade oder ungerade sein. Kurz, bei jeder Vertauschung ändert das Symbol sein Vorzeichen.

Du kannst Dir die Vorzeichen der sechs verbleibenden Elemente des LC-Symbols übrigens mit der Definition des Kreuzproduktes von zwei Vektoren sehr schnell herleiten. 21 Elemente sind gleich Null.
pressure



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Beiträge: 2496

Beitrag pressure Verfasst am: 23. Jun 2012 09:53    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich weiß zwar, was eine Permutation von 1,2,3 bezeichnet, aber mir ist schleierthaft,
was eine gerade bzw. ungerade Permutationen davon sein soll. Bitte um Erklärung!


1,2,3 und zyklisch ist eine gerade Permutation, weil du diese durch gerade Anzahl von Permutationen aus 1,2,3 generieren kannst.

1,3,2 und zyklisch ist eine ungerade Permutation, weil du diese durch eine ungerade Anzahl von Permutationen aus 1,2,3 generieren kannst.
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Jun 2012 00:46    Titel: Antworten mit Zitat

Bitte um Hilfe, wo liegt hier der Denk-Fehler? Das Ergebnis ist falsch.


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jarCrack



Anmeldungsdatum: 20.06.2012
Beiträge: 56

Beitrag jarCrack Verfasst am: 25. Jun 2012 01:33    Titel: Antworten mit Zitat

-

Zuletzt bearbeitet von jarCrack am 25. Jun 2012 10:35, insgesamt einmal bearbeitet
Uriezzo



Anmeldungsdatum: 15.09.2011
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Wohnort: Großostheim

Beitrag Uriezzo Verfasst am: 25. Jun 2012 07:48    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:


Das j in und das j im zweiten ist nicht derselbe Index.

Du solltest daher einen anderen Buchstaben verwenden, z.B.

TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 07:53    Titel: Antworten mit Zitat

Erster Fehler: Du darfst du nicht den freien Index j von x nochmal in der Summe über die Indizes des Epsilonsymbols verwenden. Zunächst ist j frei, dann entsteht jedoch aufgrund der Summenkonvention eine Summe über j. Also musst du in der Summe andere (als die freien) Indizes verwenden.

Ich hatte dir doch schonmal einen Ansatz genannt:



Nun geht es zunächst um den Doppelkommutator, bei dem nur gemischte Terme mit x und p beitragen werden, also



Zweiter Fehler: Die Indizes sind aber durchaus nicht immer verschieden, es wird über alle Indizes summiert, d.h. in jeweils einem Fall muss der Index, z.B. n=r, übereinstimmen.

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen



und damit



Nun kannst du über doppelt auftretende Indizes summieren. Es gilt r=n und s=m, d.h. im zweiten Epsilonsymbol werden diese Indizes einfach ersetzt.



Nun benötigst die Kontraktion zweier Epsilonsymbole über einen Index:



In deinem Fall musst du dir überlegen, wie du die Indizes durch zyklisches Vertauschen (d.h. ohne zusätzliches Vorzeichen) so umsortiertst, dass die Summation über den ersten Index erfolgt.

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Jun 2012 08:19    Titel: Antworten mit Zitat

habe ich (zwar nicht gänzlich selbst, aber ich
kann es nachvollziehen). Es geht mir aktuell um .

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 08:31    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
habe ich (zwar nicht gänzlich selbst, aber ich
kann es nachvollziehen). Es geht mir aktuell um .


Die zwei Denkfehler, die ich in meinem letzten Post genannt habe, treffen ganz genau auf deine Herleitung zu. D.h. ein Index ist falsch und die Annahme, dass die Kommutatoren immer Null sind, ist ebenfalls falsch.

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Jun 2012 08:34    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, ich beiß mir an diesem Übungsblatt wieder die Zähne aus, es bereitet mir sehr viel Probleme :/
Aber in der Tat bin ich noch nicht ganz wach, da habe sich einige Indizes-Fehler eingeschlichen:
Nun sollte es von den Indizes her stimmen ... ?

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 25. Jun 2012 09:05, insgesamt 3-mal bearbeitet
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Jun 2012 08:45    Titel: Antworten mit Zitat

Ist das auch falsch?
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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 08:54    Titel: Antworten mit Zitat

Kannst du mal mit den Indizes ein bisschen besser aufpassen; du scheinst da echt Probleme zu haben!

Zunächst startest du mit

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:


Anschließend führst du wieder j im Epsilonsymbol ein und ersetzt dafür j durch l bei x.

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:


Das ist natürlich etwas anderes.

Die vorletzte große Klammer sieht richtig aus und du hast auch das korrekte Kronecker-Delta mit k=l

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:


Dann schreinbst du aber plötzlich wieder ein Kronecker-Delta mit i=j

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Jun 2012 09:05    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, ich beiß mir an diesem Übungsblatt wieder die Zähne aus, es bereitet mir sehr viel Probleme :/
Aber in der Tat bin ich noch nicht ganz wach, da habe sich einige Indizes-Fehler eingeschlichen:
Nun sollte es von den Indizes her stimmen ... ?

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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 09:07    Titel: Antworten mit Zitat

ja
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Jun 2012 10:16    Titel: Antworten mit Zitat

Und wie forme ich nun den letzten Ausdruck um?
Sorry, ich bin bei dieser Aufgabe wirklich nicht gut unglücklich

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Jun 2012 11:07    Titel: Antworten mit Zitat

Kommt da raus?
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Beitrag Telefonmann Verfasst am: 25. Jun 2012 11:56    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Kommt da raus?

ja.

BTW: Man sollte hier vielleicht noch erwähnen, dass in Deinem Beitrag von 9:05 über die Indizes j und k summiert wird. Nur deswegen darf man das Kronecker-Delta als k=l lesen.


Zuletzt bearbeitet von Telefonmann am 25. Jun 2012 12:33, insgesamt einmal bearbeitet
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Jun 2012 12:20    Titel: Antworten mit Zitat

Danke! Beim folgenden Kommutator bin ich nahezu analog vorgegangen:



Im letzten Schritt habe ich verwendet, dass ist. Simmt's?

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Beitrag Telefonmann Verfasst am: 25. Jun 2012 12:35    Titel: Antworten mit Zitat

passt Thumbs up! .
TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 25. Jun 2012 16:33    Titel: Antworten mit Zitat

Juhu! Wie sieht's im Folgenden aus? Da habe ich kein gutes Gefühl ...


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Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jun 2012 16:48    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:

Und was ist



Stichwort: Antisymmetrie und Symmetrie

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