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bär332
Anmeldungsdatum: 23.05.2012
Beiträge: 1
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 bär332 Verfasst am: 23. Mai 2012 10:47 Titel: Magnetischer Monopol Kegel |
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Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass
eine Erhaltungsgröße ist. e,g sind Konstanten und der Impuls ist über die Kraft gegeben mit:
<br />
)
wobei  wieder gegeben ist durch:
Meine Ideen:
Ich differenziere den Vektor nach der Zeit und zeige, dass sich dadurch der Nullvektor ergibt.
\Leftrightarrow
<br />
\dot{\vec{Q}}&=&\vec{r}\times\left(e\left(\dot{\vec{r}}\times\vec{B}\right)\right)\Leftrightarrow
<br />
\dot{\vec{Q}}&=&eg\vec{r}\times\left(\dot{\vec{r}}\times\frac{\vec{r}}{r^3}\right)\Leftrightarrow
<br />
eg\left[\dot{\vec{r}}\left(\vec{r}\frac{\vec{r}}{r^3}\right)-\frac{\vec{r}}{r^3}\left(\vec{r}\dot{\vec{r}}\right)\right]&=&\vec{0}
<br />
)
Nun soll ich folgern das die Bewegung auf einer Kegeloberfläche stattfindet und dann den Öffnungswinkel von diesem Kegel berechnen. Meine Idee dazu:
den Erhaltungsvektor skalarmultiplizieren mit dem Ortsvektor und dann eine Beziehung zwischen dem Betrag und dem Winkel zwischen diesen herstellen. Analog zur Vorgehensweise aus dem Keplerproblem, wo man dann Kegelschnitte erhält. |
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Trial&Error
Gast
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| Trial&Error Verfasst am: 02. Mai 2014 17:57 Titel: |
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Sitze gerade vor der gleichen Aufgabe, verstehe auch nicht, wie ich aus der Erhaltungsgröße (Gesamtdrehimpulserhaltung) die Bewegung des Elektrons ableiten soll, geschweige denn davon wie ich zeige, dass es sich auf der Oberfläche eines Kegels bewegt (und dessen Öffnungswinkel bestimme).
Wenn ich die Erhaltungsgröße
+eg\frac{\vec{r}}{r})
mit  skalar multipliziere, so erhalte ich
\cdot\vec{r}+egr) .
Ich weiß nicht wie ich weitermachen soll??? |
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D2
Anmeldungsdatum: 10.01.2012
Beiträge: 1723
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 02. Mai 2014 18:54 Titel: Hilfestellung |
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Naja ich werde nun sicherlich nicht die Lösung nennen. Das ginge ja schon an der Sache vorbei. Aber ich werde dir gerne helfen.
Im ersten Schritt solltest du mal herausfinden, wie man zu diesem ominösen J kommt. Für was steht es ? Es ist ja ein Vektor. Wohin zeigt er ?
Mit dem Skalarprodukt liegst du schon richtig. Geometrisch steht es ja für sowas wie einem Winkel (zumindest in diesem Raum  - ich sichere mich schon mal vor Mathematikern ab). Schreib einfach mal die genaue Definition des Skalarprodukts hin (eingeschlossener Winkel von zwei Vektoren). Dann überleg dir ob es sinnvoll ist, den Winkel (bzw. Cos des Winkels) zwischen den zwei Vektoren zu kennen.
Welche Bedingung stellt man an einen Kegelmantel ? Eventuell ein zeitlich konstanter Winkel? Da dieser dann im 3 D Raum nur eine relative Orientierung der beiden Vektoren darstellt, kann man diese zwei Vektoren beliebig um eine Achse rotieren. Wenn ich nun dabei den Ortsvektor (bzgl. des Betrags) beliebig variieren lasse (0,a] (z.b. a als freier Parameter) erhalte ich doch einen Kegelmantel.
Alles weitere bleibt dir. Zumindest vorerst. Versuch wirklich erst zu verstehen, was J ist und wohin es zeigt. Dann wirst du auch verstehen, welchen Sinn es macht das Skalarprodukt zwischen J und dem Ortsvektor r zu bilden. Mal dir eine Skizze. Der erste Teil von J ist ja der allgemein bekannte Bahndrehimpuls. Dieser wird ein wenig modifiziert.
Im ersten Beitrag sieht man auch warum (Der reine Bahndrehimpuls ist nämlich nicht erhalten). Also führt man einfach eine neue Erhaltungsgröße ein.
Gruß Sheldon |
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Trial&Error
Gast
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| Trial&Error Verfasst am: 02. Mai 2014 21:39 Titel: |
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@D2: Danke für die weiterführenden Links:
@Sheldon: Wie man zu diesem  genau kommt weiß ich nicht. Es ist gegeben und es soll nur gezeigt werden, dass es sich dabei um eine Erhaltungsgröße handelt (Ableitung=0, fertig).
Gut, der vordere Teil ist ja ein Drehimpuls, also der Drehimpuls des Elektrons im Magnetfeld. Wobei es sich bei dem Term  handelt, weiß ich jedoch nicht. Es muss aber etwas mit dem Magnetfeld zu tun haben (gegeben durch =g\frac{\vec{r}}{r^3} ) und die Lortentzkraft ist  ).
Danke für den Hinweis mit dem Winkel, die Formelsammlung sagt bekanntlich  . Also kann ich mit dem Skalarprodukt den Winkel ausrechnen, den der Richtungsvektor  und dieses öminöse einschließen. Aber ich kann mir wirklich nicht vorstellen, was dieser Winkel sein soll, ich kann mir nichteinmal diese Erhaltungsgröße vorstellen. Daher kann ich dir auch nicht sagen ob es sinnvoll ist diesen Winkel zu kennen  .
Alles Weitere mit dem Kegelmantel ist mir ein Rätsel  |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 00:35 Titel: ... |
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Okay dann versuch ich dir erstmal zu erklären, woher das ominöse J kommt  .
Stell dir vor wir sind ahnungslose Physiker und prüfen erstmal, ob der Drehimpuls bei dieser Aufgabenstellung erhalten ist.
Was müssen wir also prüfen ?
=m\left(\dot{\vec{r}}\times\dot{\vec{r}}+\vec{r}\times\ddot{\vec{r}}\right)=m\left(\vec{r}\times\ddot{\vec{r}}\right))
(Produktregel fürs Vektorprodukt)
Wobei der Ortsvektor den Ort des Teilchens im Magnetfeld beschreibt. Die Kraft die auf das Teilchen wirkt ist aber die Lorenzkraft. q ist dabei die Ladung des Teilchens.
)
Wenn man das oben einsetzt kommt man auf:
)
Für das Magnetfeld des Monopols hast du auch einen Ausdruck. Den setzen wir mal ein.
)
Hier über die Graßmann Identität:
-\vec{r}\left(\dot{\vec{r}}\vec{r}\right)\right)=-eg\frac{d}{dt}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right))
Wobei ich im letzten Schritt q=-e gesetzt habe. Und die letzte Identität mit dem Einheitsvektor kann man über die Produktregel verifizieren.
Was sagt uns dies nun ? Nichts anderes, als das der Drehimpuls L nicht erhalten ist. Was können wir aber tun um ihn zu erhalten ? Wir können die rechte Seite einfach "links" dazunehmen.
=0)
Man kann den Klammerausdruck nun einfach nennen. Schon hat man zumindest einen Geometrischen Eindruck was das für eine Größe ist.
J ist also ein Vektor der sich aus der Summe des Drehimpuls + der Stauchung bzw. Streckung des Einheitsvektors in Ortsrichtung zusammensetzt.
Nun könnte man das mal skizzieren. Dazu nimmt man ein Elektron mit beliebigem Ortsvektor und Impuls. Es muss ja für alle allgemeinen Fälle gelten.
Gruß Sheldon |
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Trial&Error
Gast
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| Trial&Error Verfasst am: 03. Mai 2014 10:40 Titel: |
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Das mit dem ahnungslosen Physiker muss ich mir gar nicht extra vorstellen;)
Also die Erklärung woher das ist auf jeden Fall einleuchtend. Mit der Vorgabe, dass es eine Kegeloberfläche sein soll, kann ich es mir nun schon einigermaßen erschließen. Die Bewegung muss symmetrisch um die Achse von erfolgen, wobei es auf einer Zylinderoberfläche nicht sein kann, da hier der gewöhnliche Drehimpuls (bei konstantem Abstand zur Drehachse) erhalten wäre, was er ja nicht ist. Also ist die Bewegung zwar symmetrisch zu dieser Achse, aber bei nicht konstantem Abstand/Radius. Und wie du sagst wird dies Veränderung stets durch den Zusatz ausgeglichen - eine linear von abhängige Größe, somit bleibt nur noch die Form einer Kegeloberfläche.
Ob das physikalisch oder mathematisch korrekt ist weiß ich nicht, aber für mich macht es Sinn:P
Nachdem ich das Skalarprodukt  ausgenutzt habe um den Winkel auszurechnen, komme ich auch auf das richtige Ergebnis  und damit kann man es sich auch gut skizzieren - ein Kegel mit in der Symmetrieachse und bewegt sich auf der Mantellinie, wobei sie den Winkel  einschließen, also is der Öffnungswinkel des Kegels 
Soweit so gut. Nun soll man noch die "vereinfachten Bewegungsgleichungen" in Kugelkoordinaten ( ) angeben. Ich hab meine Bewegungsgleichungen genommen:
 und die Ausdrücke  in Kugelkoordinaten geschrieben. Dann das Kreuzprodukt gebildet und anschließend komponentenweise drei Bewegungsgleichungen aufgeschrieben. Jedoch geht bei mir jede davon über eine Zeile und dies sind bestimmt nicht die "vereinfachten Bewegungsgleichungen". Ich denke mein Problem ist, dass ich das Kreuzprodukt nicht sauber hinbekomme, vermutlich würden sich dann einige Terme aufheben:
Auf jeden Fall wird dass dann sehr umständlich, wenn ich dann auch noch den Ausdruck für  in Kuegelkoordinaten schreibe.
Wenn man diese dann löst mit den Anfangswerten =0 und r(0)=r_0 ) (wobei  den minimalen Abstand des Elektrons zum Ursprung bezeichnet; Energieerhaltung  darf verwendet werden) löst, soll herauskommen:
=\frac{r_0}{\cos(\varphi\sin\theta)} )
Davon bin ich jedoch noch Meilen entfernt, die Bewegungsgleichungen die ich habe, kann ich so nicht lösen, mein Problem ist, dass ich nicht auf die vereinfachte Struktur komme. Kugelkoordinaten seien ja wohl ganz hilfreich hier, jedoch weiß ich nicht, wie ich das ausnutze...
[Zu guter Letzt: Bei welcher Anfangsbedingung trifft das Elektron auf den magnetischen Monopol? --> Hier müsste ja dann  sein, ob das geht weiß ich nicht, meine Probleme sind ja schon vorher.] |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 10:59 Titel: ... |
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Hallo, ja im Teil 1 beschreibst du alles richtig . Freut mich, dass es ersichtlich war, weshalb es sich um einen Kegel handelt und wohin die J Achse zeigt. Blankes rechnen führt hier auch zu nichts. Man muss die Sachen verstehen.
Für die Bahnbeschreibung sind Kugelkoordinaten sinnvoll, da es sich um eine rotationssymmetrische Bewegung handelt. Dabei ist der Winkel mit der J Achse fest. Sie schließen den Winkel Theta ein.
Beim differenzieren ist also Theta nicht von t abhängig. Der Radius und der Azimutalwinkel phi schon.
Versuch erstmal r sowie die beiden Ableitungen in Parameterform zu berechnen. r hast du schon richtig. Die Ableitung nicht. |
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Trial&Error
Gast
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| Trial&Error Verfasst am: 03. Mai 2014 12:07 Titel: |
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Ich hoff es lag nur an diesem einen kleinen Punkt:P
 \\r\sin\theta(\dot{r}\sin\varphi-r\dot{\theta}\cos\varphi) \end{pmatrix} )
Vielleicht kann ich an der ein oder anderen Stelle noch etwas kürzen, aber letztlich will ich ja
, r_y(\varphi), r_z(\varphi) ) um  ) angeben zu können
Das machts aber auch nicht viel schöner wenn ich es dann in
einsetze:
 \\r\sin\theta(\dot{r}\sin\varphi-r\dot{\theta}\cos\varphi) \end{pmatrix} )
Darf ich hier dann überhaupt komponentenweise die Bewegungsgleichungen aufschreiben oder ist durch das Kreuzprodukt alles vermischt worden ( )?
Wenn ich jetzt z.B. nur die erste Zeile hernehme, erhalte ich:
 )
Dies erscheint mir aber nicht als der Lösungsweg. Oder ist dass so kompliziert und ich soll nur das gegebene einsetzten und schauen ob es alle drei DGl löst? |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 12:41 Titel: ... |
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Hallo, nein lag es nicht .
Du musst den Ortsvektor richtig ableiten. Ich zeigs dir mal:
\cos(\phi)\\r\sin(\theta)\sin(\phi)\\r\cos(\theta)\end{array}\right))
Nun ist Theta aber konstant. Angeleitet wird nach der Produktregel. Vor allem komponentenweise.
\cos(\phi)-r\dot{\phi}\sin(\phi)\sin(\theta)\\\dot{r}\sin(\theta)\sin(\phi)+r\dot{\phi}\cos(\phi)\sin(\theta)\\ \dot{r}\cos(\theta)\end{array}\right)
<br />
)
Das gleiche kannst du für die zweite Ableitung anstellen. Wenn du dann das Kreuzprodukt bildest, vereinfacht sich einiges. Muss ja auch so sein, wegen der Rotationssymmetrie . |
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Trial&Error
Gast
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| Trial&Error Verfasst am: 03. Mai 2014 14:52 Titel: |
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Nach nun endlosem Matrizenrechnen komm ich zusammengefasst auf:
und
\cdot\vec{e}_{r} + (2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi})\cdot\vec{e}_{\varphi})
Somit folgt für die dreidiemensionale Bewegungsgleichung:
\cdot\vec{e}_{r} + (2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi})\cdot\vec{e}_{\varphi}&=-\frac{eg}{mr^3}\cdot r^2\dot{\varphi}\cdot\vec{e}_{\theta})
Wenn ich jetzt die Richtungsvektoren wieder einmultipliziere wirds wohl wieder komplizierter, kann ich aber dann die Bewegungsgleichungen komponentenweise aufschreiben bzw. lösen? Oder kann man direkt mit dieser Gleichung hantieren? Das mit den Kugelkoordinaten hab ich noch nicht so raus... |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 14:59 Titel: .... |
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Die erste Angabe ist fast richtig. Ich hab da noch ein sin(Theta).
Zumindest auf dem Schmierzettel von gestern Abend, den ich noch im Halbschlaf geschrieben hab . |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 15:33 Titel: |
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Ich mein du kannst dir die Sache auch einfacher machen und nicht in Parameterdarstellung rechnen. Es gäbe auch folgende Möglichkeit: (völlig trivial herzuleiten - und allgemein für Kugelkoordinaten gültig)
\hat{\phi})
\right)\hat{r}+\left(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\dot{\phi}^2\sin(\theta)\cos(\theta)\right)\hat{\theta}+\left(r\ddot{\phi}\sin(\theta)+2\dot{r}\dot{\phi}\sin(\theta)+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos(\theta)\right)\hat{\phi}
<br />
)
Wenn du nun wie weiter oben beschieben alle  ) zu Null setzt (Theta bleibt konstant), erhältst du:
\hat{\phi})
\right)\hat{r}-\left(r\dot{\phi}^2\sin(\theta)\cos(\theta)\right)\hat{\theta}+\left(r\ddot{\phi}\sin(\theta)+2\dot{r}\dot{\phi}\sin(\theta)\right)\hat{\phi}
<br />
)
Womit du dann sehr einfach das erste Kreuzprodukt berechnen kannst (und auch siehst, dass bei dir das sin(theta) fehlt.
+r^2\dot{\phi}\sin{\theta}\left(\hat{\phi}\times\hat{r}\right)=r^2\dot{\phi}\sin(\theta)\hat{\theta}) |
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Trial&Error
Gast
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| Trial&Error Verfasst am: 03. Mai 2014 17:38 Titel: |
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Ja stimmt, das habe ich vergessen, also:
\cdot\vec{e}_{r} + (2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi})\cdot\vec{e}_{\varphi}&=-\frac{eg}{mr^3}\cdot r^2\dot{\varphi}\sin\theta\cdot\vec{e}_{\theta}
<br />
\Rightarrow (\ddot{r}-r\dot{\varphi}^2)\cdot\vec{e}_{r} + (2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi})\cdot\vec{e}_{\varphi}&=-\frac{eg}{mr^3}\cdot r^2\dot{\varphi}\sqrt{1-cos^2\theta}\cdot\vec{e}_{\theta}
<br />
\Rightarrow (\ddot{r}-r\dot{\varphi}^2)\cdot\vec{e}_{r} + (2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi})\cdot\vec{e}_{\varphi}&=-\frac{eg}{mr}\cdot \dot{\varphi}\cdot\sqrt{1-\left(\frac{eg}{|\vec{J}|}\right)^2}\cdot\vec{e}_{\theta}
<br />
)
Aber ehrlich gesagt macht mich das nicht klüger als zuvor. Die Umformung um den Sinus rauszubekommen ist wahrscheinlich auch Käse.
Wie gesagt ich weiß jetzt nicht, wie ich die Bewegungsgleichungen komponentenweise aufschreiben soll und wie ich die Erhaltung der kinetischen Energie einbaue in die Lösung. |
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Dr.Sheldon.Cooper
Anmeldungsdatum: 02.05.2014
Beiträge: 49
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| Dr.Sheldon.Cooper Verfasst am: 03. Mai 2014 17:45 Titel: .... |
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Naja die linke Seite ist auch nicht richtig. Ich hab eigentlich die richtige Darstellung für die Beschleunigung angegeben.
Wenn du die nimmst, wirst du sehen, dass du mit einer Projektion auf den Einheitsvektor e_Theta weiterkommst.
Er steht nämlich senkrecht auf er und ephi.
Bei deiner Beschleunigung wirfst du komplett das Argument von e_theta und weitere Sachen über Bord. Nimm die Darstellung die ich dir geschickt habe. Das solltet ihr auch irgendwo in einer Vorlesung mal hergeleitet haben. Falls nicht, guckst du bei Wikipedia oder In Landaus Büchlein. |
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SheldonCooper
Anmeldungsdatum: 25.05.2017
Beiträge: 1
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| SheldonCooper Verfasst am: 25. Mai 2017 15:40 Titel: |
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Hallo an alle
Ich habe das selbe Problem wie mein Vorgänger, ich habe den Term der in Richtung des Richtungsvekors von Theta mit beachtet verstehe nun leider nicht wie ich mit den Bewegungsgleichunger verfahren soll, da diese ja mehrere Variablen beinhalten. ?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe |
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