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Erwartungswert des Impulsoperators in Impulsdarstellung
 
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Xuk



Anmeldungsdatum: 19.05.2012
Beiträge: 3

Beitrag Xuk Verfasst am: 19. Mai 2012 16:20    Titel: Erwartungswert des Impulsoperators in Impulsdarstellung Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,
wie berechne ich den Erwartungswert des Impulsoperators zum Quadrat in Impulsdarstellung?
Folgendes habe ich gegeben:



Meine Ideen:



weil reell ist.

Aber daraus ergibt sich ein Integral, das ich nicht lösen kann.
Bestimmt habe ich irgendwo Irgendwas übersehen... Oder?
Bin dankbar für jede Hilfe!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Mai 2012 16:44    Titel: Antworten mit Zitat

Doch, das kannst du lösen.

Zunächst substituierst du so, dass im Exponenten aus (p/h-k) die neue Variable p'/h entsteht. Damit ändert sich auch dein p² vor dem Exponenten. Die Integrationsgrenzen (hast du vergessen hinzuschreiben) bleiben aber gleich.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Xuk



Anmeldungsdatum: 19.05.2012
Beiträge: 3

Beitrag Xuk Verfasst am: 19. Mai 2012 18:58    Titel: Antworten mit Zitat

Gut...

ich substituiere:


und erhalte:



Aber dann?..
Der e-Term sieht ja nach dem Gauß-Fehlerintegral aus, aber was mache ich mit dem quadratischen Term vor dem Exponenten?
Chillosaurus



Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440

Beitrag Chillosaurus Verfasst am: 19. Mai 2012 20:24    Titel: Antworten mit Zitat

multipliziere aus, dann erhältst du
- ein Gaußintegral
- ein Integral, das sich durch Substitution einfach lösen lässt
- ein Integral, das du zunächst partiell integrieren müsstest, um es dann wie das zweite zu knacken.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17896

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Mai 2012 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Ein Trick:



Dann die Integration und die Ableitung vertauschen, das dp-Integral ausführen und das Ergebnis (das vom Parameter a abhängt) nach a ableiten ;-)

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Xuk



Anmeldungsdatum: 19.05.2012
Beiträge: 3

Beitrag Xuk Verfasst am: 19. Mai 2012 22:45    Titel: Antworten mit Zitat

Ooh, Erlösung! Danke!

Also dann:



Das mittlere Integral ist Null, weil der Integrand antisymmetrisch ist.

Mit dem Vorfaktor, den ich bis jetzt nicht mitgeschleppt habe, lautet das Endergebnis:



Yuhu!!! Tanzen
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