Spinoperatoren anwenden

Pauli_ · Gast

Hallo,

man hat folgende zwei Basiszustände:

und

, wobei alpha der Spin +1/2 und beta -1/2 zugeordnet ist.

Nun definiert man sich daraus folgenden Zustand:

Nun möchte ich folgende Werte berechnen:

Kann mir bitte jemand ausführlich erklären, wie ich diese berechnen kann?

Gute Nacht

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Dazu brauchst du zunächst die Darstellung von

,

in der Basis

. Kennst du diese schon bzw. steht diese in deinen Unterlagen oder müssen wir diese erst herleiten?

Pauli_ · Gast

Die müssten wir hergeleitet haben, wenngleich ich nicht mehr genau weiß, wie das genau ging.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Gut, nun ist allerdings sinnvoll die Paulimatrizen in Dirac-Notation zu schreiben, also wird aus

:

Analog machst du das mit den anderen beiden Paulimatrizen, wenn du anschließend noch beachtest, dass gilt

musst du nur noch die Diracdarstellung für die Paulimatrizen einsetzen und beim Erwartungswertbilden "aus multiplizieren".

Pauli_ · Gast

Gut ich bin jetzt für

auf

gekommen.

Dazu habe ich allerdings noch zwei Fragen. Um aus dem Ket ein Bra zu bilden muss ich den Adjoint Operator anwenden, oder?

Also

Dann habe ich die Darstellung der Paulimatrizen noch nicht gesehen. Wie kommt man darauf?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Einverstanden: Für

komme ich auf den gleichen Erwartungswert; auch wie du aus dem Ket einen Bra machst ist korrekt (nur bei der Bezeichnung hast du Bra mit Ket vertauscht).

Zur Darstellung der Paulmatrizen... das ist eigentlich ziemlich banal, du ordnest einfach zu:

Nun ist

und

und somit

vollständig charakterisiert, also

Ganz allgemein gilt analog für eine beliebige 2x2 Matrix in dieser Notation

Pauli_ · Gast

Danke. Damit kann ich das ganze ja noch einfacher ausrechnen, wenn ich die Wirkung der Operatoren auf die Kets kenne.

Man hat ja auch:

etc.

Was jetzt noch übrig bleibt wäre die physikalische Interpretation.

Ich erhalte:

Was sagt mir das jetzt über das Verhalten, des Teilchens?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Die Interpretation wäre, dass der Spin in der x-y-Ebene präzediert.

Pauli_ · Gast

Woran siehst du da? Und wie kann man sich diese Bewegung vorstellen?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Mit Vorstellungen wäre ich vorsichtig, deswegen ja auch das Wort "Interpretation". Den Spin kannst du nicht klassisch beschreiben, dementsprechend ist auch eine Vorstellung, die ja immer auf klassische Analogien beruht...

Wie man darauf kommt... nehmen wir doch mal an du könntest ohne das System zu beeinflussen die x-,y- und z-Komponente des Spins gleichzeitig messen bzw. dessen qm. Erwartungswerts (was schon mal gar nicht möglich ist, da die Operatoren nicht kommutieren und jede dieser Messungen das System verändern würde - Stichwort: Kollaps der Wellenfunktion) und den Verlauf zeitlich aufzeichnen würdest... was erhältst du dann für eine "Bewegung"?

Pauli_ · Gast

Sind denn

etc. die Erwartungswerte der Spinkomponenten? Wenn ja, dann würde er kreisförmig um die Z-Achse drehen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Der Spinoperator (als Vektor dreier Operatoren) lautet abstrakt einfach S und hat die bekannten Eigenschaften wie Vertauschungsrelationen und Eigenwerte. Für die "Länge" (mathematisch: den Casimiroperator der SU(2)) des Spins gilt S² = s(s+1) wobei s halbzahlig s = 0, 1/2, 1, 3/2, ... ist.

Speziell für s=1/2 findet man eine zweidimensionale Darstellung des Spinoperators unter Verwendung der Paulimatrizen

Damit ist klar, dass

den Erwartungswert einer Spinkomponente i im Zustand \psi zur Zeit t darstellt. Genau das hast du berechnet.

Man kann nun nicht behaupten, dass der Spin (also der Spinoperator selbst) 'rotiert', aber der Erwartungswert tut es.