2 Probleme zur Quantenoptik (Unschärferelation und Zustände)

Matthias89 · Gast

Hallo!

Ich habe mich heute mit meiner Lerngruppe getroffen und beim Lösen zweier Probleme sind mehr oder weniger große Probleme aufgetaucht.

Problem 1: Wann sind zwei Zustände gleich?
Es werden zwei gemischte Photonen-Zustände untersucht, der eine durch zufälliges Mischen (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) eines horizontal und eines vertikal pollarisierten Zustands, und der andere gleichermaßen für rechts- und links-zirkular polarisierte Zustände. Frage ist jetzt, ob die beiden den gleichen physikalischen Zustand beschreiben

Was haben die Vektoren

zur Beschreibung der Photonenzustände verwendet und damit gezeigt, dass die Dichtematrix

für beide Fälle gleich ist.

Dann kann man ja für eine beliebige Observable

zeigen, dass der Erwartungswert

für beide Zustände gleich ist und man die beiden Zustände damit mit keiner Messung unterscheiden kann.

Die Frage: Wie weit muss man gehen, um zu zeigen, dass die beiden Zustände gleich sind oder nicht? Reicht die gleiche Dichtematrix bereits aus? Oder haben wir sogar etwas übersehen und die beiden Zustände sind doch nicht gleich?

Problem 2: Minimaler Fokus eines Laserstrahls aufgrund der Unschärferelation
Man soll eine frei wählbare statistische Verteilungsfunktionen für den Impuls (1-dimensional) hernehmen und damit abschätzen, wie klein man den Fokus eines Laserstrahls der Wellenlänge

machen kann. Anschließend geht ums die Interpretation und die Frage, mit welchem realen physikalischen Aufbau man das erreichen kann.

Wir hatten hier fast keinen Ansatzpunkt. Klar gilt die Unschärferelation:

und im Prinzip müsste man doch nur

für die Verteilung bestimmen und dann hätte man eine Abschätzung für

, oder?

Die Frage: Wie sieht das z.B. konkret für eine Gaußverteilung aus? Da weiß man doch nur, dass

oder? Und das einzusetzen scheint mir zu simpel.

Vielen Dank schonmal für die Hilfe!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Es ist sinnvoll, zwischen Dichtematrix und Dichteoperator zu unterscheiden. Ein Dichteoperator ist definiert durch

wobei die P für Projektionsoperatoren stehen.

Eine Dichtematrix bzgl. einer Basis ist definiert mittels

Dabei muss keineswegs die Dichtematrix bzg. der selben Basis gebildet werden wie die Projektionsoperatoren, d.h. statt n kann auch n', n'', ... betrachtet werden.

'Gleichheit' definiert man sinnvollerweise auf der Ebene der Dichteoperatoren, da bei der Dichtematrix eine weitere Basisabhängigkeit ins Spiel kommt. Zwei Dichteoperatoren sind m.E. physikalisch äquivalent, wenn sie für beliebige Observablen A jeweils identische Erwartungswerte liefern.

Das sollte auch Projektionsoperatoren P² = P einschließen

Matthias89 · Gast

Super, vielen Dank!
Damit wäre das 1. Problem gelöse! Thumbs up!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Zur Frage zwei: m.W.n. sind die kohärenten Zustände des harmonischen Oszillators Zustände minimaler Unschärfe. Schau mal hier nach

http://de.wikipedia.org/wiki/Koh%C3%A4renter_Zustand