Energieerhaltung QM

Lena92 · Gast

Meine Frage:
Hallo, ich möchte die Energieerhaltung in der QM zeigen. Dazu soll gezeigt werden, dass d/dt <H> = 0.
Dabei ist H der Hamilton Operator H = P^2/ (2m))

Meine Ideen:
Ich schreibe den Mittelwert als:

Nun kann ich das d/dt in das Integral hineinziehen udn dann? Wenn ich den Hamilton Operator mithilfe der Schrödingergleichung ersetze oder die Zeitableitung kommt nix vernünftiges heraus...
Wer hat eine Idee?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18132

Um was für eine Funktion handelt es sich denn bei phi? Eine Eigenfunktion von H?

Formal kann man wie folgt vorgehen:

Schrödingergleichung

Formale Lösung mittels des Zeitentwicklungsoperators

wobei diese beiden Gleichungen für alle Zustände - nicht nur für Eigenzustände von H - gilt.

Dann ist

Aufgrund der Konstruktion von U mittels H vertauscht jedoch U mit H, und somit ist

und damit

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18132

Eine andere Möglichkeit ist folgender Ansatz

mit zeitunabhängigen Koeffizienten c!

Die Zeitentwicklung ergibt sich aus der bekannten Zeitentwicklung der Energieeigenzustände

Daraus ergibt sich

Für das Matrixelement gilt

und damit

Der Zeiterwartungswert ist offensichtlich zeitunabhängig.