2 Kugeln auf einer Parabelbahn

Nickrossi · Anmeldungsdatum: 27.09.2011 Beiträge: 3

Meine Frage:
Die Frage ist ob 2 Kugeln, die in unterschiedlicher Höhe auf einer Parabelförmigen (oder auch Hyperbolischen) Bahn fallen gelassen werden, gleichzeitig unten ankommen

Meine Ideen:
Die Idee ist das die Kugel die weiter oben ist deutlich stärker beschleunigt wird und so die andere Kugel überholt.

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Hi,

hast du zu dem genannten Sachverhalt vielleicht eine Skizze?

Nickrossi24 · Gast

Leider nicht, ich suche da schon im Netz die ganze Zeit nach. Am einfachsten ist es glaub ich wenn man sich das 2-Dimensional vorstellt. man hat eine (symmetrische) nach oben geöffnete Parabel. auf der einen Seite lässt man die Kugel weiter oben starten, auf der anderen weiter unten. Die Kugeln werden dann durch die Schwerkraft an die Parabel gedrückt und bewegen sich auf den Scheitelpunkt zu. Die Frage ist ob die Kugeln nun exakt an diesem Zusammenstoßen.

Nickrossi · Anmeldungsdatum: 27.09.2011 Beiträge: 3

So endlich war die Mail mit dem passwort da.... Ich hab gerade gesehen das ich mich im ersten Text schlecht ausgedrückt habe. Ich meinte einholen nicht überholen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18121

Schau dir mal dieses klassische Problem der Brachistochrone an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone

Es geht nun nicht darum, eine optimale Bahnkurve zu finden, sondern die Zeiten für eine gegebene Bahnkurve zu vergleichen. Meine Argumentation lautet nun wie folgt:
- die erste Kugel rollt von (x,y) = (0,0) nach (b,y(b))
- die zweite Kugel rollt von (x,y) = (a,y(a)) nach (b,y(b))
y(x) ist dabei immer negativ.

Führt man die in dem Artikel genannte Auflösung nach dt/dx durch, so findet man für die beiden Kugeln mit y=y(x)

Der Unterschied im Nenner stammt daher, dass die erste Kugel zu Beginn die potentielle Energie (und damit die Gesamtenergie) 0 hat, wärend für die zweite Kugel diese Energie mgy(a) lautet.

Die Zeitdifferenz folgt dabei aus

Das kann man nun umschreiben zu

Nun ist die Frage, ob der Term im zweiten Integral negativ werden kann, denn nur dann könnte Delta T überhaupt negativ werden; sicher ist das noch nicht, das hängt vom ersten Integral ab. Man betrachtet also

Wenn ich dies umforme, erhalte ich (ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet :-) die Bedingung

Diese ist aber immer erfüllt, d.h. das Integral ist immer negativ und man kann schreiben

Intuitiv ist klar, dass die erste Kugel mit einem höheren Startpunkt das zweite Wegstück von (a,y(a)) nach (b,y(b)) schneller zurücklegt als die zweite.

D.h. man kann i.A. ohne genau Kenntnis der Funktion y(x) und von a nichts über das Vorzeichen von Delta T aussagen! Noch schlimmer, es ist ja völlig unklar, wie die Funktion y(x) im Intervall [0,a] fortgesetzt wird; nur das Intervall [a,b] wird ja von beiden Kugeln durchlaufen. Man könnte also durch eine geeignete Wahl der Funktion y(x) im Intervall [0,a] ein beliebiges Verhalten von Delta T konstruieren.

Schlussfolgerung: man muss es in jedem Einzelfall nachprüfen.

Bitte: prüft das mal nach; ich habe das so nebenher notiert, kann also auch noch ein Vorzeichenfehler drin sein - und dan wäre alles anders:-)

Nickrossi · Anmeldungsdatum: 27.09.2011 Beiträge: 3

OK vielen Dank für die Antwort. Das Hilft mir schonmal weiter!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18121

ich habe noch was ergänzt :-)