Schaltkreis mit Kondensator

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Guten Abend, ich habe hier einen Schaltkreis, mit dem ich leider nicht ganz zurechtkomme.

soll die zeitabhängige Spannungsquelle sein. Jetzt soll ich die Differentialgleichung aufstellen, die das System beschreibt. Das Ergebnis ist laut Aufgabe

mit

Nach langem vergeblichen Rumrechnen habe ich lieber erstmal rückwärts angefangen und komme dann darauf, dass

gelten muss, wenn die Lösung richtig ist. Das macht für mich auch Sinn, da

ja in Reihe mit dem Rest geschalten ist und das restliche Gebilde mehr oder weniger eine Parallelschaltung ist.

Dann habe ich versucht, mithilfe der Kirchhoffschen Regeln dahinzukommen, aber es gelingt mir erstmal nicht.
Ich habe mir überlegt, dass gelten muss

Habe ich irgendwo einen Denkfehler? Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Ich weiß einfach nicht, warum ich nicht draufkomme...

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ich glaube, ich habe schon beim Umformen einen Fehler gemacht, da ja

nicht gleich

ist...

Die Bedingung

ist also Blödsinn. Die angegebene Lösung vom Aufgabenblatt stimmt aber.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Hmm ich bin mir nicht sicher, ob ich das verstanden habe.
Also, wenn ich mir überlege, welchen Widerstand der Kondensator "sieht", dann ist er in Reihe geschaltet mit

und parallelgeschaltet mit

und

- Das bedeutet, ich komme auf

. Damit habe ich doch schonmal den Innenwiderstand. Die Summe der Spannungsabfälle am Kondensator ist also für die rechte Seite der Gleichung tatsächlich

. Jetzt bin ich nur noch unsicher, warum auf der linken Seite der Gleichung nicht einfach

steht, sondern auch

mal

. Das müsste aber mit der Leerlaufspannung zu tun haben, was muss ich denn da betrachten?
Vielen Dank aber schonmal für die Hilfe, ich denke, ich bin jetzt echt schon weitergekommen!

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Mit einer Ersatzspannungsquelle will man einen etwas komplizierteren Schaltungsteil ersetzen, deshalb heißt sie so. Im vorligenden Fall willst Du ermitteln, an welche Ersatzquelle der Kondensator angeschlossen werden kann und dabei dasselbe Verhalten zeigt (Spannung und Strom) wie an der Originalschaltung. Du musst den zu ersetzenden Schaltungsteil im Leerlauf, also ohne angeschlossenen Kondensator betrachten.

Die Kenngrößen einer Ersatzspannungsquelle, kann man also nur aus dem zu ersetzenden Netzwerk bestimmen.

Die Ersatzquelle besteht aus einer idealen Quelle mit einem in Reihe liegenden Widerstand, den man auch Innenwiderstand nennt. Wenn Du in die offenen Klemmen der Ersatzquelle hineinschaust, siehst Du den Innenwiderstand. den bestimmst Du, indem Du in genau gleicher Weise in die offenen Klemmen der gegebenen Schaltung hineinschaust.

Genauso funktioniert das mit der Spannung. Welche Spannung liegt an den offenen Klemmen der Ersatzzquelle? Nach Maschensatz natürlich die Quellenspannung dieser Ersatzquelle, die man, weil sie im Leerlauf an den Klemmen auftritt, auch Leerlaufspannung nennt. Die kannst Du also nur bestimmen, indem Du die Spannung an den offenen Klemmen der zu ersetzenden Schaltung berechnest. Im vorliegenden Fall ist die Leerlaufspannung nach Maschenstz gleich dem Spannungsabfall an R2, da durch R3 im Leerlauf ja kein Strom fließt. Diesen Spannungsabfall kannst Du leicht nach Spannungsteilerregel bestimmen.

Da steht übrigens nicht

, das wäre auch gar keine Spannung, sondern da steht

. Der (dimensionslose) Bruch ist der Teilerfaktor des Spannugsteilers bestehend aus R1 und R2.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ich soll also den Kondensator in Gedanken rausnehmen und den Schaltkreis an der Stelle unterbrechen. Dann fließt bei

kein Strom mehr. Der Innenwiderstand, den man an den Klemmen dann sieht, wäre

, wenn ich dich richtig verstanden habe.

und

bilden dann einen Spannungsteiler:

Wenn ich das umstelle, komme ich darauf, dass

.
Weil bei R_3 kein Strom geflossen ist, ist U_2 die gesuchte Ersatzspannung im Leerlauf. Wenn ich dann sage, dass diese Spannung gleich I mal der Ersatzwiderstand der Schaltung war und die Spannung des Kondensators nicht vergesse, den ich vorher herausbekommen habe,
komme ich auf

.

Irgendwie finde ich aber immer noch, dass der Lösungsweg so Pi mal Daumen zusammengebastelt ist. Muss ich denn ganz allgemein immer erst versuchen, den Widerstand vom zu ersetzenden Bauteil aus zu berechnen, dann das Bauteil herausnehmen und die Spannung des Rests berechnen und dann wieder alles zusammenaddieren (Spannung des Kondensators plus Spannung der zu ersetzenden Schaltung)?

Mr. Wood · Anmeldungsdatum: 17.04.2011 Beiträge: 8

Hallo,
ich habe den Lösungsweg.
Knoten und Maschen sind richtig.

mit

erhältst du folgende Gleichungssysteme:

Mit dem Gauß-Algorithmus gehts weiter:

und nochmal:

Interessant ist nur die letzte Zeile der Matrix, daher schenke ich mir eine vollständige Diagonalisierung.

Alle Brüche werden auf den Hauptnenner

gebracht.

Multiplikation beider Seiten mit

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

@yellowfur
Du scheinst das Prinzip der Erstzquellen nicht verstanden zu haben, das ich mit einfachen Worten zu erklären versucht habe. Also schau' lieber mal ins Lehrbuch. Du sagst, dass an den offenen Klemmen von C der Widerstand R3 zu sehen sei, dabei ist es der Widerstand R3 plus die Parallelschaltung aus R1 und R2. Das ist doch im Schaltbild deutlich zu sehen und findet folgerichtung auch in der Lösungs-Dgl. seinen Niederschlag. Du solltest Dich darum bemühen zu erkennen, wie die Gleichung zustande kommt. Ich habe Dir eine einfache Erklärung geliefert. Du kannst das natürlich auch auf die komplizierte Art wie Mr. Wood tun, aber sage nie, das Ersatzquellenverfahren sei ein Pi mal Daumen zusammengebasteltes. Damit rüttelst Du an den Grundlagen der Elektrotechnik.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Vielen Dank für eure Hilfe! Ich werde mir das mit den Ersatzschaltquellen nochmal in einem Lehrbuch anschauen, sonst wird das nichts. Aber auf jeden Fall ist das Thema wichtig und ich will es keinesfalls als ungenau bezeichnen. Mit Pi mal Daumen habe ich eher meine Lösung gemeint, eben weil mir noch etwas das Verständnis fehlt.
@GvC: Du hast Recht, die Widerstände parallel zu

habe ich unterschlagen.
@Mr. Woods: Vielen Dank für diese Idee, ich habe auch schon versucht, einfach mit Knoten- und Maschenregeln dahinzukommen. Jetzt schaue ich mir mal an, was bei mir gefehlt hat. Danke!