| Autor |
Nachricht |
Toreador
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 5
|
 Toreador Verfasst am: 19. Mai 2011 11:57 Titel: Euler-Lagrange in rotierendem Bezugssystem |
 |
|
Meine Frage:
Ich komm irgendwie nicht weiter. Mein Problem ist, ich möchte die Euler-Lagrange-Gleichung eines freien Teilchens in einem rotierenden Bezugssystem aufstellen.
Meine Ideen:
Da V(r)=0 ist, bleibt für die Lagrangefunktion nur die kinestische Energie des Teilchens:
^2)
Das Quadrat habe ich erst einmal normal ausmultipliziert:
 +(\vec{\omega}\times\vec{r})^2))
Der erste Teil der Gleichung habe ich noch hinbekommen:
))
Aber ich hab keine Ahnung, was ich mit
 +(\vec{\omega}\times\vec{r})^2))
machen soll.
Gruß, Oliver
PS: Warum funktionieren die Tags nicht? -.-
PPS: Okay, selbst überlistet, html hat /, nicht \  |
|
 |
Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
|
| Keplerfan Verfasst am: 19. Mai 2011 13:00 Titel: |
|
|
 ist ja konstant im Bezug auf die Ableitung nach  .
Es gilt außerdem
_i = \sum\epsilon_{ijk} \omega_j r_k)
und deshalb
)_i=\frac{\partial}{\partial r_i}\sum\epsilon_{ijk} \omega_j r_k= \sum\epsilon_{iji} \omega_j = 0 ) (Anders ausgedrückt: In der ersten Komponente des Kreuzprodukts kommen nur  und  vor, deshalb ist die Ableitung nach  gleich null, usw.) |
|
|
Toreador
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 5
|
| Toreador Verfasst am: 19. Mai 2011 13:26 Titel: |
|
|
Dann zerlegen wir mal weiter:
+\frac{\partial}{\partial \vec{r}} (2\dot{\vec{r}}(\vec{\omega}\times\vec{r}))+\frac{\partial}{\partial \vec{r}} ((\vec{\omega}\times\vec{r})^2))
Der erste Summand ist null, da stimme ich dir direkt zu.
Wen aber
=0)
folgt
=0)
Der zweite Summand ist auch Null.
Diese Ableitung taucht aber auch im dritten Summand als "inner Ableitung" auf und ergibt dort auch null.
Damit verschwindet aber die gesamte Ableitung. Das kann nicht stimmen..
PS:
Rauskommen soll:
)
Vielleicht stimmt aber auch meine Literatur nicht. Zusammengesetzt zur Euler-Lagrange kommt aber die Bewegungsgleichung raus, die ich nach Newton erwarte. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
|
| TomS Verfasst am: 19. Mai 2011 13:46 Titel: |
|
|
Da stimmen die Indizes nicht. Es geht um
^2 = \frac{\partial}{\partial r_i} \sum_k \left(\sum_{lm} \epsilon_{klm} \omega_l r_m)\right) \left(\sum_{pq} \epsilon_{kpq} \omega_p r_q)\right))
Für einen einzelnen Term gilt
_k = \frac{\partial}{\partial r_i} \left(\sum_{lm} \epsilon_{klm} \omega_l r_m)\right) = \sum_{l} \epsilon_{kli} \omega_l )
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
|
| Keplerfan Verfasst am: 19. Mai 2011 14:06 Titel: |
|
|
In der Produktregel für ) gibt es vier Terme, von denen, wie schon gesagt, einige netterweise wegfallen:
 = \vec{v}\cdot \frac{\partial}{\partial \vec{r}} \vec{w} + \vec{w} \cdot \frac{\partial}{\partial \vec{r}} \vec{v} + \vec{v} \times rot \vec{w} + \vec{w} \times rot \vec{v} )
Wird wohl sehr kompliziert ... Einen leichteren Weg seh ich gerade leider nicht. Vielleicht helfen dir die Nabla-Rechenregeln von Wiki:
http://de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator
Ansonsten ist der direkte Weg über die Summen von TomS vielleicht vorzuziehen.
TomS: Ich meine für den einzelnen Term ist k=i (bei deiner Indizierung), da man beim Gradienten die i.te Komponente nach  ableitet. Das antisymmetrische Epsilon ist dann 0. Kann mich natürlich täuschen.
Die Ableitung des Quadrates kann man dann nach den Rechenregeln bestimmten. |
|
|
Toreador
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 5
|
| Toreador Verfasst am: 19. Mai 2011 14:10 Titel: |
|
|
|
Fluch! Ja, die Rotation hatte ich nicht mehr auf dem Schirm. Danke, ich denke, das sollte mein Problem lösen. Ich rechne mal noch etwas. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
|
| TomS Verfasst am: 19. Mai 2011 14:21 Titel: |
|
|
| Keplerfan hat Folgendes geschrieben: | | TomS: Ich meine für den einzelnen Term ist k=i (bei deiner Indizierung), da man beim Gradienten die i.te Komponente nach ableitet. Das antisymmetrische Epsilon ist dann 0. Kann mich natürlich täuschen. |
Dass deine Indizes nicht passen siehst du schon daran, dass dreimal ein "i" vorkommt, das kann nicht sein; die zwei hinteren Indizes stammen aus dem Skalarprodukt bzw. dem Quadrat und sind miteinander kontrahiert; der vordere Index stammt aus der Ableitung und muss daher unterschiedlich sein und alleine stehen.
Bei meiner Indizierung ist k NICHT gleich i, sondern i bleibt immer alleine stehen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Keplerfan
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 252
|
| Keplerfan Verfasst am: 19. Mai 2011 14:28 Titel: |
|
|
Was ich schreiben wollte: Die erste Komponente von  ist  . Abgeleitet nach (erste Komponente des Gradienten) kommt 0 heraus, da  konstant ist. Das gilt für alle Komponenten. Die inneren Produkte betrachte ich erst später. |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 19. Mai 2011 14:42 Titel: |
|
|
|
Bei Interesse an den (LAGRANGE) Bewegungsgleichungen beliebiger mechanischer Systeme in (beliebig) beschleunigten Bezugssystemen: LANDAU / LIFSCHITZ I §39; dort übrigens über das totale Differential dL. |
|
|
Toreador
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 5
|
| Toreador Verfasst am: 19. Mai 2011 15:48 Titel: |
|
|
Also gut, ich hab nochmal gerechnet. Leider hab ich noch nicht alle Terme wirklich zu Null machen können, aber ich hab das Gefühl, das sie Null sind.
Ich versuchs mal, vielleicht hat ja jemand langeweile:
(\dot{\vec{r}}+\vec{\omega}\times\vec{r})\right))
Produktregel, 2 vor die Klammer gezogen (Ich hab die Klammer abgekürzt, trotzdem unübersichtlich):
\frac{\partial}{\partial\vec{r}}\right)(...)+(...)\times\left(\frac{\partial}{\partial\vec{r}}\times(...)\right)\right])
Der erste Summand scheint Null zu sein, auch wenn ich die Rechnung gerade nicht mehr finde.. -.-
Also der zweite Teil:
\right)\times\left[\frac{\partial}{\partial\vec{r}}\times\left(\dot{\vec{r}}+(\vec{\omega}\times\vec{r})\right)\right])
Nur die eckige Klammer:
)
Die Rotation im ersten Summanden ist Null, "Produkregel" für den zweiten Summanden:
\vec{\omega}-\vec{r}\left(\frac{\partial}{\partial\vec{r}}\omega\right)+\vec{\omega}\left(\frac{\partial}{\partial\vec{r}}\vec{r}\right)-\left(\vec{\omega}\frac{\partial}{\partial\vec{r}}\right)\vec{r})
Dort scheint alles Null bis auf:
=\vec{\omega})
Damit wird die komplette Klammer zu omega und der "zweite Teil" oben zu:
\right)\times\vec{\omega})
Damit wäre
\right)\times\vec{\omega}\right))
Und das ist, was ich erwarte. Warum in der zweiten Zeile der "Skalar-Produkt-Summand" Null ist, hab ich irgendwo auf einem Schmierzettel. Von den drei Nullen in der "Produktregel" hab ich zwei erkannt. Bin ich auf dem richtigen Weg? Morgen mal in den Landau/Lifschitz schauen. |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 19. Mai 2011 16:04 Titel: |
|
|
|
Ergebnis stimmt. |
|
|
Toreador
Anmeldungsdatum: 19.05.2011
Beiträge: 5
|
| Toreador Verfasst am: 19. Mai 2011 16:06 Titel: |
|
|
|
Na, das wusste ich schon vorher. Ich wusste, wo ich hinkomme, aber nur nicht wie. Als im Buch "Die Ableitungen lauten:.." stand, dachte ich, das wäre mal eine nette Fingerübung. Ich sollte es eigentlich langsam besser wissen. Wenigstens waren die Ableitung nicht "dem geneigtem Leser" "zur Übung überlassen".. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
