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Massenträgheitsmoment, allgemeines Unverständnis (sorry, gen
 
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punk.abryss



Anmeldungsdatum: 16.04.2011
Beiträge: 4

Beitrag punk.abryss Verfasst am: 16. Apr 2011 20:24    Titel: Massenträgheitsmoment, allgemeines Unverständnis (sorry, gen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo liebe Leute,
der Titel sollte eigentlich schon alles sagen
Am Diensttag haben wir Physiklabor und das Thema wird, welch Wunder, das Massenträgheitsmoment sein. Darauf soll und will ich natürlich vorbereitet sein, allerdings komme ich seit nunmehr 10 Stunden einfach auf keinen grünen Zweig.
Nun würde ich gerne mein Vorbereitungsblatt einscannen, aber mir dünkt ich kann hier keine Anhänge posten. Also werde ich es abtippen:

"Rotiert ein Körper um eine Achse, spielt das Massenträgheitsmoment (MTM) die gleiche Rolle wie die Masse bei der Translation.
Im Versuch wird ein Drehtisch benutzt, auf dem ein Körper rotiert, dessen MTM bestimmt werden soll. Der Drehtisch ist ein runder, waagerechter Tisch mit einer Achse. Wird der Tisch um der Winkel (phi) gedreht und dann losgelassen, treibt eine elastische Spiralfeder den Tisch zurück; es kommt zu einer Drehschwingung. Das rücktreibende Drehmoment M(el) ist proportional (phi), die Konstante D heißt Winkelrichtgröße:
M(el) = -D * (phi)
Das Drehmoment beschleunigt den Tisch und einen darauf liegenden Zusatzkörper. Wenn J das Gesamt-MTM von Tisch und Körper ist, gilt:
M(el) = J * (phi)[mit zwei Pünktchen drüber]
Die Differentialgleichung der Drehgeschwindigkeit ist:
J * (phi)[Doppelpünktchen] = -D * (phi)"

Dann folgt als erste von vier Vorbereitungsaufgaben:

"Geben Sie die Lösung der Differentialgleichung an. Geben Sie die Schwingungsperiode T an."


Meine Ideen:
Ich habe ja inzwischen schon einiges gelesen, und so weiß ich inzwischen, dass (phi)[zwei Pünktchen obendrauf] die "zweite Ableitung von (phi) nach der Zeit ist". Leider ist das bei mir nicht mehr als eine leere Worthülse. Wie soll ich denn einen Winkel nach der Zeit ableiten? Und dann auch gleich noch zweimal? Und wo kommt jetzt plötzlich dieses T her? Und überhaupt!
Sollte sich jemand bemüssigt fühlen etwas Licht in dieses Rabenschwarz zu bringen, würde ich mich durchaus freuen.

Schönen Gruß
Thorsten
Namenloser
Gast





Beitrag Namenloser Verfasst am: 16. Apr 2011 21:16    Titel: Antworten mit Zitat

Phi nach der Zeitabgeleitet ergibt die Winkelgeschwindigkeit, das ist nichts anderes als der Drehwinkel pro Zeit, dabei wird das ganze allerdings in Bogenmaß angegeben.
Nehmen wir an eine Scheibe würde sich konstant pro Sekunde einmal um sichj selbst drehen, dann wäre die Winkelgeschwindigkeit 2*PI/s, da 2 Pi in Bogenmaß einer ganzen Umdrehung entspricht.
Da die Geschwindigkeit konstant ist, ist die Ableitung nach der Zeit der Winkelgeschwindigkeit gleich Null, d.h. die Anzahl der Umdrehung pro Sekunde ändert sich nicht.

Das geht völlig analog zum Ableiten eines Ortes x.
d/dt x(t) = v(t)
und d/dt v(t) = a(t)
Es wird bei rotierenden Körpern die Winkelgeschwindigkeit verwendet, weil die Geschwindigkeit bei einem rotierenden Starren Körper nach außen hin zunimmt, denn wäre sie überall konstant würde der Körper außeinanderbrechen, denn außen muss ja ein größerer Weg zurückgelegt werden als innen.
Man kann zeigen, dass gilt:
J*d²/dt² phi = SUmme aller Momente.

Das ist schlicht das Drehmoment, welches zu einer Drehung führt bzw. zu einer beschleunigten Drehung.
Die von dir gegbene Differentialgleichung kannst du doch lösen, ob du die Größen verstehst oder nicht. Ist eine gewöhnlich Differentialgleichung 2. Ordnung, Ansatz ist eine e-funktion.

Die Scwingungsperiode T, ist die Zeit die die Schwingung braucht um den gleichen Zustand wie "zuvor" einzunehmen, ich denke cos(x) ist die bekannt, dessen periodendauer ist 2Pi, denn cos(x+2*pi) = cos(x)
Wenn du eine harmonische Schwingung hast, entspricht die Periodendauer dem abstand zwischen zwei Maxima.
Questembetsa
Gast





Beitrag Questembetsa Verfasst am: 16. Apr 2011 21:23    Titel: Antworten mit Zitat

Hey ich bin da zwar selbst nicht so der Beste drin, aber folgendes kann ich dir auf jeden Fall schon mal erzählen:

Wenn du den Winkel über eine Zeit ableitest was hast du dann? Winkel/Zeit, also quasi die winkelgeschwindigkeit, die anderen Ableitungen kennst du ja sicher über die Ableitungen einer Länge smile

Ähm schau mal bitte in der Aufgabe ob da nicht noch das Drehmoment oder ähnliches angegeben ist, wenn nicht musst du einfach so die Differentialgleichung machen.
Dazu brauchst du ja erst mal nur noch die DG der Drehgeschwindigkeit. Wie steht das Masseträgheitsmoment und die Geschwindigkeit denn in Zusammenhang? smile

Peace.
Namenloser
Gast





Beitrag Namenloser Verfasst am: 16. Apr 2011 21:33    Titel: Antworten mit Zitat

Ich füg nochmal ein wenig hinzu, fand das früher auch komisch:

Das Massenträgheitsmoment kommt aus der Energiegleichung:
Ekin = 0,5m*v², wenn ein Körper (nur) rotiert, dann gilt:
v = w*r, wobei w die Winkelgeshwindigkeit ist.
->
Ekin = 0,5*m*(w*r)² = 0,5*r²*m*w², r²m ist das Trägheitsmoment einer Punktmasse.
Wenn man dieses für eine kontinuierliche Massepunktsammlung(d.h. einen Körper) berechnen möchte, gilt dann eben:
J = Integral(r²*dm), die Summe aller infinitesimalen Trägheitsmomente.
Wenn eine Kraft an einem starren Körper angreift, führt diese zu einer Drehung(sofern keine entsprechende Gegenkraft vorhanden ist).
Dies "leitet" Energie in das Massesystem des starren Körpers sein und offensichtlich ist dann die zeitliche Änderung der Energie des starren Körpers gleich der zugeführten Energie durch das Drehmoment.
->

d/dt(Ekin) = M*w, denn M*w ist die zugeführte Energie durch das angreifende Drehmoment, w ist natürlich wieder die Winkelgeschwindigkeit.

d/dt(Ekin) = d/dt(0,5*J*w(t)²) = (Kettenregel)J*w*d/dt(w(t))
Dann kann man durch w dividieren und erhält:
J*d/dt w(t) = M
Genau was gesucht war
punk.abrys
Gast





Beitrag punk.abrys Verfasst am: 16. Apr 2011 22:27    Titel: Antworten mit Zitat

Hi Namenloser,
wenn ich das richtig verstehe ist dieses (phi)[zwei Pünktchen] tatsächlich niX anderes als eine Bezeichnug der Winkelgeschwindigkeit. Und wenn ich die gegeben hätte könnte ich diesen Wert einfach dort einsetzen. Nun, gegeben ist aber leider niX.
Das wir eine Winkelgeschwindigkeit haben wenn sich ein Körper dreht, ist mir auch klar. Was mir allerdings immer noch völlig schleierhaft ist ist wie ich aus dem (gegebenen) Winkel diese Winkelgeschwindigkeit baue. Ableiten kann man ja wohl nur eine Funktion (hoffe ich doch, sonst hab ich was grundlegendes nicht kapiert). Und so ein Winkel ist mal ganz sicher keine Funktion sondern 'ne Zahl. Und nu?
Aber mal angenommen, das sei egal und es ginge, völlig verständnisfrei, nur darum diese Differentialgleichung zu lösen. "Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung"und die e-Funktion als Ansatz, irgendwie kann ich mir da grad so gar nichts drunter vorstellen. Oder ich steh mir einfach grad ganz böse selbst im Weg
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 16. Apr 2011 22:38    Titel: Antworten mit Zitat

Ohne hier mitgelesen zu haben: ist eine Winkelgeschwindigkeit und eine Winkelbeschleunigung. usw.
punk.abryss



Anmeldungsdatum: 16.04.2011
Beiträge: 4

Beitrag punk.abryss Verfasst am: 16. Apr 2011 22:52    Titel: Antworten mit Zitat

Hi franz
kann ich diesen Ausdruck (phi)[..] also einfach mit rad/s² übersetzen?
punk.abryss



Anmeldungsdatum: 16.04.2011
Beiträge: 4

Beitrag punk.abryss Verfasst am: 16. Apr 2011 23:10    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn das so wäre hätte ich ja schon mal auf jeder Seite der Gleichung



Nm stehen. Das ist schon mal ein Fortschritt.

Allerdings weiß ich immer noch nicht was es an dieser Gleichung zu lösen gibt, wenn es (wie weiter oben gesagt) die Gleichung der Drehschwingung ist.
Namenloser
Gast





Beitrag Namenloser Verfasst am: 17. Apr 2011 00:33    Titel: Antworten mit Zitat

Ah, das ist dein Problem, ok:

Differentialgleichungen sind Gleichungen bei denen die Ableitung (irgendeiner Ordnung, hier die 2.) einer Funktion vorkommt und zumeist auch noch eine andere Ableitung der selben Funktion(hier phi(t)).
Jetzt lautet die Frage:

Wie sieht phi(t) konkret aus beziehungsweise, welche FUnktion(sschar) löst diese Differentialgleichung.
Bei dieser Art von differentialgleichung nimmt man üblicherweise den Ansatz:
phi(t) = exp(lamba*t)
Dann setzt man phi(t) in die Gleichung ein.
Dann kannst du einiges rauskürzen und es ergibt sichetwas was so aussieht wie:

lambda²+lambda*D/J = 0
Dann löst du die quadratische Gleichung und baust dir phi(t) jetzt so zusammen:

Phi_allgemeine_Lösung(t) = A*exp(lambda_Lösung1*t)+B*exp(lambda_Lösung_2*t)

Diese Funktion ist dann die gesuchte, und das ist mit "lösen" in dem Text gemeint. Die unbekannten A und B löst man üblicherweise durch gegebene Randbedingungen(etwa das die Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt Null gleich Null ist oder ähnliches).
Dazu guckst du aber am besten nochmal in einem Matheskript nach, da sollte das behandelt worden sein. Ansonsten google nutzen gibts einige Seiten zu.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 17. Apr 2011 01:04    Titel: Antworten mit Zitat

punk.abryss hat Folgendes geschrieben:
"Geben Sie die Lösung der Differentialgleichung an. Geben Sie die Schwingungsperiode T an."

Ich glaube kaum, daß Du Dich hier tiefer in Differentialgleichungen und komplexe Zahlen reinfummeln willst / sollst. Zeige einfach (durch Einsetzen) , daß die bekannte allgemeine Lösung, meinetwegen funktioniert mit der Kreisfrequenz , Amplitude a und (notfalls) Phase c. Basta.
punk.abryss



Anmeldungsdatum: 16.04.2011
Beiträge: 4

Beitrag punk.abryss Verfasst am: 17. Apr 2011 12:34    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für Eure Hilfsbemühungen,
aber ich glaube es hat keinen Sinn. In ganz lichten Momenten verstehe ich mal kurz Bahnhof, alles andere ist nur kryptisches Rauschen.
Ich werde mir wohl eher mal Gedanken drüber machen wie ich meinem Prof erkläre dass ich rein gar nichts von der Materie verstehe und mir eine gute Ausrede zu Recht legen.
Vielen Dank, schönen Sonntag, ich bin raus. und beschäftige mich lieber wieder mit Fächern bei denen ich wenigstens den Ansatz verstehe.

Schönen Gruß
Thorsten
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