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Aufgabe zur Drehimpulserhaltung "Laufscheibe"
 
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PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 05. März 2011 21:48    Titel: Aufgabe zur Drehimpulserhaltung "Laufscheibe" Antworten mit Zitat

Hallo Leute!
Ich habe mit dieser Aufgabe schon Stunden verbracht und komme einfach nicht weiter. Ich hoffe hier auf einen barmherzigen User, der mir diese Aufgabe etwas erklären könnte.
und hier die Aufgabe:

"Sie haben eine Masse von 60 kg und besteigen zum Training unter den Augen Ihrer Trainerin, die direkt neben Ihnen steht, Ihr Trainingsgerät:
eine horizontal reibungsfrei gelagerte Laufscheibe, deren Massenträgheitsmoment 125kgm² und deren Durchmesser 10 m beträgt. Sie laufen immer am Scheibenrand entlang. Nachdem Sie das dritte mal an der Trainerin vorbeikommen, dürfen Sie Ihr Training unterbrechen. Die Trainerin nennt Ihnen eine Laufzeit von 6,5 min und Sie sind mit Ihrem Ergebnis zufrieden.
Welche Strecke haben Sie zurückgelegt und wie groß war dabei Ihre mittlere Geschwindigkeit?"

Zusammenfassung:




Man ist 3 mal an der Trainerin vorbeigelaufen.

Mein Ansatz:
Drehimpulserhaltung + (Rotations-)Energieerhaltung. Gesamtdrehimpuls ist die Differenz der beiden Drehimpulse von Scheibe und Mensch (Differenz, weil sich Scheibe und Mensch in entgegengesetzte Richtungen bewegen).
Gesamtenergie ist die Summe der einzelnen Rotationsenergien.
Aber irgendwie will mich dieser Ansatz nicht zur richtigen Lösung führen.

Ach ja, die Ergebnisse lauten: Strecke = 1225 m und mittlere v = 11.3km/h
Chillosaurus



Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440

Beitrag Chillosaurus Verfasst am: 05. März 2011 23:00    Titel: Re: Aufgabe zur Drehimpulserhaltung "Laufscheibe" Antworten mit Zitat

PTB hat Folgendes geschrieben:
[...]"Sie haben eine Masse von 60 kg und besteigen zum Training unter den Augen Ihrer Trainerin, die direkt neben Ihnen steht, Ihr Trainingsgerät:
eine horizontal reibungsfrei gelagerte Laufscheibe,[...] Gesamtdrehimpuls ist die Differenz der beiden Drehimpulse von Scheibe und Mensch [...]

Da der Mensch am Anfang steht, muss doch der Gesamtdrehimpuls immer=0 sein. Die Gesamtenergie dürfte nicht erhalten sein, da ja z.B. beim Anlaufen Arbeit verrichtet wird.
Korrekte Annahme, dass Geschwindigkeit und Strecke aus dem Bezugssystem des Läufers angegeben werden sollen?.
PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 05. März 2011 23:09    Titel: Re: Aufgabe zur Drehimpulserhaltung "Laufscheibe" Antworten mit Zitat

Chillosaurus hat Folgendes geschrieben:
Korrekte Annahme, dass Geschwindigkeit und Strecke aus dem Bezugssystem des Läufers angegeben werden sollen?.

=> Ja.
Ok, wenn der Gesamtdrehimpuls gleich 0 sein soll, dann kommen wir doch auf eine Gleichung, die besagt, dass der Drehimpuls der Scheibe gleich dem Drehimpuls des Menschen sein soll. Nun haben wir aber 2 Unbekannte:
Winkelgeschwindigkeiten von der Scheibe und vom Menschen.
Ich denke mal, dass man hier ohne den Energieerhaltungssatz nich weiterkommt, da wir zum Lösen noch unbedingt eine 2 Gleichung brauchen. Ich schätze mal, dass der Energieverlust am Anfang ignoriert werden darf, da er niedrig ist.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 05. März 2011 23:11    Titel: Re: Aufgabe zur Drehimpulserhaltung "Laufscheibe" Antworten mit Zitat

Chillosaurus hat Folgendes geschrieben:
Da der Mensch am Anfang steht

Joh 1,1 Lehrer
Chillosaurus



Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440

Beitrag Chillosaurus Verfasst am: 05. März 2011 23:14    Titel: Re: Aufgabe zur Drehimpulserhaltung "Laufscheibe" Antworten mit Zitat

PTB hat Folgendes geschrieben:
[...] Ich denke mal, dass[...] wir zum Lösen noch unbedingt eine 2 Gleichung brauchen. [...]

Die zweite Gleichung ist durch die Zeit im Ruhesystem gegeben.
PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 05. März 2011 23:26    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, ich habe das jetzt so umgesetzt:
vom Bezugssystem der Trainerin hat der Mensch eine Winkelgeschwindigkeit (=> Wg), nämlich die Differenz von der Wg der Scheibe und der Wg des Menschen. jetzt kann man in der obigen Gleichung nach der gewünschten Unbekannten auflösen und sollte dann zum Ergebnis kommen.
Aber das Ergebnis scheint mir nicht richtig zu sein, ich komme auf:
v = 0.022m/s

und das kann ja nur falsch sein.
seltsame Sache...
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 05. März 2011 23:37    Titel: Antworten mit Zitat

Mir scheint, daß Du das Pferd von hinten aufzäumst.

Vom äußeren Bezugssystem her gesehen hat sich der Sportler dreimal auf dem bekannten Kreis bewegt und dazu eine bekannte Zeit gebraucht. Mit der daraus resultierenden Geschwindigkeit v würde ich anfangen. Sie liefert sofort seinen Drehimpuls L = m r v ...

Damit hat man dann den Drehimpuls der Scheibe respektive die Drehgeschwindigkeit eines Randpunktes ... und damit schlußendlich die gesuchte Relativgeschwindigkeit des Läufers gegenüber dem Scheibenrand. (Was übrigens einen zwar negativen, aber ansonsten christlichen, Wert liefert.)
PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 05. März 2011 23:51    Titel: Antworten mit Zitat

w_{außen} = (2 * \pi )/T
T = 390/3 = 130 s
also w_{außen} = 0,04833
L_{außen} = J_{mensch} * w_{außen}
mit J_{mensch} = 60 kg * (5 m)² = 1500 kg m²
=> L_{außen} = 72.5 kg m²/s

so, nun habe ich keine Ahnung mehr, was ich damit anstellen soll.
Wie soll ich das mit der Drehimpulsgleichung im BZ der Scheibe kombinieren?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 05. März 2011 23:58    Titel: Antworten mit Zitat

Du möchtest lieber mit den Winkelgeschwindigkeiten rechnen und die Geschwindigkeit zum Schluß?



Zuletzt bearbeitet von franz am 06. März 2011 00:16, insgesamt 2-mal bearbeitet
PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 06. März 2011 00:12    Titel: Antworten mit Zitat

franz hat Folgendes geschrieben:
Du möchtest lieber mit Winkelgeschwindigkeit rechnen?


ja genau. das ist die Winkelgeschwindigtkeit, die die Trainerin bemerkt hat.
Daraus lässt sich der Drehimpuls (vom äußeren BZ aus) berechnen.

Das ist jetzt der Drehimpuls der Person. Wie gehe ich jetzt damit in das BZ der Scheibe rüber?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 06. März 2011 00:17    Titel: Antworten mit Zitat




In welchem Zusammenhang stehen die beiden Drehimpulse J_P und J_S??
PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 06. März 2011 00:20    Titel: Antworten mit Zitat

franz hat Folgendes geschrieben:



In welchem Zusammenhang stehen die beiden Drehimpulse J_P und J_S??


Jp und Js müssten gleich sein, damit ihre Differenz 0 ergibt.
so komme ich auf eine Geschwindigkeit von 10,44m/s. weicht zwar etwas von der Lösung ab, aber scheint mir trotzdem richtig zu sein.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 06. März 2011 00:26    Titel: Antworten mit Zitat

PTB hat Folgendes geschrieben:
Jp und Js müssten gleich sein, damit ihre Differenz 0 ergibt.
so komme ich auf eine Geschwindigkeit von 10,44m/s. weicht zwar etwas von der Lösung ab, aber scheint mir trotzdem richtig zu sein.

Du meinst sicher L_P und L_S?
Nicht deren Differenz, sondern die Summe ist null; beide sind entgegengerichtet.

Zeig mal Deine weitere Rechnung!
Bei mir 11,3 km/h. grübelnd
PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 06. März 2011 00:43    Titel: Antworten mit Zitat

franz hat Folgendes geschrieben:
Du meinst L_P und L_S? Nicht deren Differenz, sondern die Summe ist null; beide sind entgegengerichtet.
Zeig mal Deine weitere Rechnung!


Ja meine ich ja. Und da die beiden Impulse entgegengerichtet sind, hat der eine ein positives Vorzeichen und der andere ein negatives. Deswegen habe ich den Begriff "Differenz" verwendet.

meine Rechnung:


Drehimpulserhaltung:

da Lp und Lscheibe entegegengesetzt sind, ist eine Vorzeichenänderung möglich:

somit

mit dieser Winkelgeschwindigketi komme ich dann auf eine Geschwindigkeit von 10,44 m/s.
stimmts soweit?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 06. März 2011 00:49    Titel: Antworten mit Zitat

.
Jetzt müssen wir uns den (radialen) Geschwindigkeiten widmen.
In welchem Zusammenhang stehen sie zu den Winkelgeschwindigkeiten?

Nebenbei: Laß bitte die konkreten Zahlen aus der Berechnung!
PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 06. März 2011 01:00    Titel: Antworten mit Zitat


also die Winkelgeschwindigkeit jetzt mit dem radius multiplizieren
PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 06. März 2011 01:07    Titel: Antworten mit Zitat

ich komme jetzt einfach nicht drauf. Ich brauche ja die mittlere Geschwindigkeit der Person. Wieso löse ich dann nach der Geschwindigkeit der Scheibe auf?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 06. März 2011 01:13    Titel: Antworten mit Zitat

Die Formel ist erstmal OK; wir kommen gleich darauf zurück.

Aus der Frage ganz oben ergibt sich, daß der Läufer nicht seine Radialgeschwindigkeit gegenüber der Trainerin, also von außen her gesehen, wissen will (dann wäre ja der ganze Aufriß Quatsch), sondern er möchte seine Geschwindigkeit gegenüber der Scheibe wissen - das Geschehen aus seiner persönlichen Läufersicht heraus sozusagen.

Solche Relativwerte kriegt man durch Differenz raus. Ich würde also mit der Differenz der Winkelgeschwindigkeiten fortsetzen
PTB
Gast





Beitrag PTB Verfasst am: 06. März 2011 01:27    Titel: Antworten mit Zitat


so, jetzt bin ich mir aber nicht sicher, was vor dem "=" stehen soll.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 06. März 2011 01:43    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist die relative Winkelgeschwindigkeit, meinetwegen \omega' , zwischen Läufer und Scheibe. Zusammen mit \omega_P und J_P von oben also

Und damit hast Du die gesuchte Relativgeschwindigkeit des Läufers gegenüber der Scheibe v' - aus Deiner Formel von oben ... Thumbs up!


Zuletzt bearbeitet von franz am 06. März 2011 01:52, insgesamt einmal bearbeitet
PTB



Anmeldungsdatum: 06.03.2011
Beiträge: 30

Beitrag PTB Verfasst am: 06. März 2011 01:52    Titel: Antworten mit Zitat

JETZT!

Jetzt hab ichs. Meine Güte, hätte ich ein bisschen anders gedacht, wäre das Alles hier gar nicht so kompliziert!

Ich bedanke mich vielmals für deine Geduld. Du glaubst gar nicht, wie sehr du mir geholfen hast!


Zuletzt bearbeitet von PTB am 06. März 2011 02:39, insgesamt 2-mal bearbeitet
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 06. März 2011 01:57    Titel: Antworten mit Zitat

Technische Anmerkung noch: Wir haben strenggenommen die relative Winkelgeschwindigkeit im äußeren Bezugssystem berechnet, die jedoch mit der im gleichförmig drehenden System (also Läufer auf der für ihn ruhenden Scheibe) identisch ist. mfG
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