Zeitdilatation im Karussell

Dopap · Anmeldungsdatum: 24.02.2011 Beiträge: 198 Wohnort: Ostalbkreis

Uhrgang im Karussell

Eine Uhr U2 am Karusselrand müsste nach spezieller Relativitätstheorie um den Faktor k1
langsamer als die Uhr U1 im Mittelpunkt gehen.
Gleichzeitig geht sie nach allgemeiner Relativitätstheorie um den Faktor k2 langsamer,
da ein Gravitationspotentialdifferenz

zwischen Mitte und Rand besteht.

Insgesamt also der Verlangsamungsfaktor

sind diese Überlegungen richtig?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich verstehe nicht, woher du im Karrusell ein Gravitationspotential nimmst. Das kann man sicher im Rahmen der SRT berechnen, wobei nur die bescheunigte (da kreisförmige) Begewung zu berücksichtigen ist.

I.A. (z.B. wenn ein Fugzeug die Erde umkreist) wäre das Gravitationspotential wichtig, da Zeitdilatation aufgrund der Bewegung einerseits und aufgrund des unterschiedlichen Gravitationspotentials andereseits mit unterschiedlichen Vorzeichen beitragen können. Aber beim Karrussell gibt es nur einen Beitrag.

OpiWahn · Gast

Ein Beobachter im Karussell stellt eine Zentrifugalkraft fest, auf Grund des Äquivalenzprinzips ist er berechtigt, diese Kraft auf ein Gravitationsfeld zurückzuführen. In einem Gebiet mit Gravitation ist aber die SRT nicht gültig, die SRT gilt nur in einem Inertialsystem.

Dopap · Anmeldungsdatum: 24.02.2011 Beiträge: 198 Wohnort: Ostalbkreis

das Haefele-Keating Experiment in den 70.ger-Jahren mit 2 Atomuhren in Verkehrsflugzuegen ( 1x Ostflug und 1x Westflug) und einer Atomuhr auf dem Boden zeigte, dass beide Einflüsse zu berücksichtigen sind.
Dasselbe gilt auch für die GPS-Satelliten.
Dasselbe würde demnach auch für eine Uhr im Zug und einer Uhr im Bergwerksstollen gelten.
Der Unterschied zum Karussell wäre demnach der, dass in obigen Fällen "echte" Gravitation im Spiel ist.
So habe ich TomS und OpiWahn verstanden.

Dann bleibt als Beitrag im Karussell nur k2 zu berücksichtigen.(?)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Wenn ein externes Gravitationsfeld im Spiel ist, muss die ART verwendet werden.

Wenn ohne externes Gravitationsfeld eine beschleunigte Beweguzng vorliegt, kann durchaus die SRT verwendet werden (natürlich kann man das auch gemäß der ART rechnen - und kommt auf's selbe Ergebnis - aber es ist nicht notwendig)

Ich glaube, hier liegt das Missverständnis vor, dass Beschleungung und Gravitation grundsätzlich identisch sind. Das ist so nicht richtig. Richtig ist vielmehr, dass lokal für einen Beobachter keine Unterschiede zwischen Beschleunigung und Gravitation feststellbar sind; global, d.h. für eine Schar von Beobachtern gilt dies nicht. Wenn eine Schar frei fallender Beobachter sich z.B. einander annähert, dann liegt sicher ein Gravitationsfeld vor.

Die Formel zur Berechnung der Eigenzeit entlang einer beliebigen Kurve in einer gekrümmten Raumzeit (einschließlich Beschleunigungseffekten) lautet

Daraus folgen für die SRT die bekannten Spezialfälle ...

... mehr zu dem Integral (im Falle des Karrussells), wenn ich wieder Zeit habe

Dopap · Anmeldungsdatum: 24.02.2011 Beiträge: 198 Wohnort: Ostalbkreis

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Wir gehen aus von der allgemeine Formel

mit

Bis hierher gilt die Gleichung in der ART in voller Strenge. Nun beschränkt man sich zunächst auf eine bestimmte Klasse von Raumzeiten (so wichtige Beispiele wie die Schwarzschildmetrik für schwarze Löcher, Friedmann-Robertson-Walker-Metriken für das Universum), so dass die Zeitkoordinate entkoppelt, d.h. dass die Effekte der Krümmung Raum und Zeit nicht "mischen". Dann gilt

In dieser Form kann man das Linienelement (das zunächst in der vierdiemensionalen Raumzeit definiert war) gut interpretieren: t ist die Koordinatenzeit, die für sich alleine noch keine physikalisch messbare Bedeuting hat (da sie eben koordinatensystemabhängig ist). Die Wurzel beschreibt, wie die Effekte der ART den Zeitverlauf (bezogen auf die Koordinatenzeit) modifizieren. Unter der Wurzel beinhaltet der metrisch Tensor g die Effekte der Geometrie der Raumzeit, die zeitlichen Ableitungen der Koordinaten die Geschwindigkeiten. Man sieht also, dass in dieser Formel sowohl Raumzeiteffekte als auch Geschwindigkeitseffekte enthalten sind.

Betrachtet man einen ruhenden Körper, so reduziert sich die Formel zu

Darin steckt das Gravitationspotential und der Effekt der Zeitdilatation in Gravitationsfeldern. Grundsätzlich wäre dieser Effekt hier (auf der Erde) ebenfalls zu berücksichtigen.

Aus der Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen findet man letztlich

wobei G die Gravitationskonstante und M bzw. R Erdmasse und -radius sind. Damit gilt

D.h. im Gravitationspotential ändert sich der Zeitverlauf bezogen auf eine im unendlichen sitzenden Beobachter, für den die Koordinatenzeit T und die Eigenzeit tau übereinstimmen.

Nun betrachten wir aber den Fall des Karrussells. In diesem Fall trägt auch noch der Geschwindigkeitsterm bei, wobei wir hier die Näherung machen dürfen, dass die räumlichen Tensorkomponenten g alle gleich -1 gesetzt werden. D.h. es gilt

Man sieht, dass die beiden Effekte, einmal das Gravitationspotential, einmal der Geschwindigkeitsterm mit unterschiedlichen Vorzeichen beitragen. Das wird wichtig, wenn man den Fall eines um die Erde kreisenden Flugzeuges betrachtet: die größere Höhe sowie die Geschwindigkeit des Flugzeuges zusammengenommen heben sich teilweise gegenseitg auf.

Nun zum Karrussell alleine, für das wir das Gravitationspotential vernachlässigen. Wir betrachten einen Beobachter A in Ruhe und eine Beobachter B, der sich im Karrussell mit der Bahngeschwindigkeit v bewegt. Für die Eigenzeiten (berechnet über die Koordinatenzeit t) gilt

Also

und damit

Das ist die bekannte Formel für die Zeitdilatation aus der speziellen Relativitätstheorie.

Dopap · Anmeldungsdatum: 24.02.2011 Beiträge: 198 Wohnort: Ostalbkreis

Sehr schön TomS, das ist die hohe Kunst und kein Geschwafel, wie man es manchmal vorfindet.
Der Nachteil für einen wie mich, der nie Gelegenheit hatte, sich mit der Metrik und den Tensoren zu beschäftigen, ist der, dass das kaum nachzuvollziehen ist.
Damit mir aber nicht unnötigerweise was verloren geht noch folgende Fragen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062