Gradientenfelder und Potentiale

Bajer · Anmeldungsdatum: 26.08.2009 Beiträge: 68

Folgende Aufgabe:

Gegegen sei das Vektorfeld:

Ist dieses Feld ein Gradientenfeld und wie lautet sein zugehöriges Potential? Wie unterscheiden sich zwei mögliche Potentiale voneinander?

Meine Idee:

Soweit ich es richtig verstanden habe, ist die Bedingung für ein Gradientenfeld, das es rotationsfrei ist:

Somit ist es ein Gradientenfeld und besitzt auch Potentiale. Doch wie finde ich ein zugehöriges Potential? In einem Buch habe ich gelesen, man integriert:

Kann ich als

einfach

nehmen? Und für P irgendein beliebiges Beispiel, wie

?
Dann würde ich rausbekommen:

Oder muss ich das allgemein lösen, also für x1,y1,z1 ?
Und was kann damit gemeint sein, wie sich 2 Potentiale unterscheiden?

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5044

Bajer · Anmeldungsdatum: 26.08.2009 Beiträge: 68

Wie meinst du das?
Ist bei einem Potential der Gradient gleich Kraft, oder was meinst du?

Tschuldige, das ich dumm frage, aber in der Vorlesung machen wir was anderes, als in den Übungen gefordert wird.[/latex]

Packo · Gast

Hallo Bajer,
ich zeige dir 2 Methoden:
1)
Bestimme die Arbeit entlang eines Hakenweges z.B.
von (0,0,0) nach (x,0,0)
dann von (x,0,0) nach (x,y,0)
weiters von (x,y,0) nach ( x,y,z)
Die Arbeit über diese 3 Wege ergibt die Potenzialfunktion.

Kannst du das?

2)
Sei das Feld F = (M,N,P) gesucht die Potenzialfunktion f(x,y,z)

In unserem Beispiel also
M=yz
N = z(x-2y)
P = y(x-y)

Du hast ja schon überpruft: rot F = 0

f(x,y,z)= Integral M nach x mit der Konstanten C1(y,z)
f(x,y,z)=Integral N nach y mit der Konstanten C2(x,z)
f(x,y,z) = Integral P nach z mit der Konstanten C3(x,y)

Die "Integrationskonstanten" werden als Funktionen geschrieben.
Sie lassen sich aus diesen 3 Gleichungen bestimmen und man erhält somit f(x,y,z) das gesuchte Potenzial.

Bajer · Anmeldungsdatum: 26.08.2009 Beiträge: 68

zu Packos Methoden:

1)

von (0,0,0) nach (x,0,0) : xyz
von (x,0,0) nach (x,y,0) : xyz - zy^2
von (x,y,0) nach (x,y,z) : xyz - zy^2

Und was ist dann meine Funktion? Die Summe der drei Ergebnisse?
Und wieso entlang eines Hakenweges, wenn es konservativ ist, könnte man dann nicht auch irgendeinen beliebigen Weg nehmen?

2)

Die Ergebnisse für die Integrale von M,N und P sind dann die selben wie oben, oder?
Also:
1. xyz
2. xyz - zy^2
3. xyz - zy^2

Packo · Gast

Bajer,
bleiben wir mal bei der 2. Methode.
Deine 3 Integrale sind richtig aber du musst die ganzen Gleichungen schreiben:
f = xyz + C1(y,z)
f = xyz - y²z + C2(x,z)
f = xyz - y²z + C3(x,y)

Dies ergibt C1(y,z) = -y²z
C2=C3=0

und f(x,y,z) = xyz - y²z

PROBE:

Packo · Gast

Für die 1. Methode musst du die Wege parametrisieren.

Du kannst natürlich auch irgendeinen anderen Weg von (0,0,0) nach (x,y,z) benutzen.
Der vorgeschlagene Hakenweg ergibt jedoch einfache Integrale.

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5044

Bajer · Anmeldungsdatum: 26.08.2009 Beiträge: 68

Langsam wird mir alles klarer, nur nochmal kurz zum sichergehen:

@DrStupid:
müsste es bei dir net heissen V=yz(y-x) ? Und was bedeutet genau das Vo?

@Packo:
Hier kriegt man C1, C2 und C3 ja mit "blossem ansehen" raus, doch was muss man machen, wenn die gleichungen komplizierter aussehen?

Packo · Gast

Bajer,
auch bei komplizierteren Gleichungen kann man die Integrationskonstanten ermitteln.

Allerdings muss man beachten, dass diese "Konstanten" Funktionen der Variablen sind.
Zum Beispiel ist C1(y,z) eine Funktion von y und z. Es darf also im Ausdruck für C1 kein x vorkommen.

Hast du schon den "Hakenweg" probiert?

Bajer · Anmeldungsdatum: 26.08.2009 Beiträge: 68

Ja, den Hakenweg habe ich jetzt auch probiert, diesmal richtig, und komme auch auf das richtige Ergebnis!
Ich denk ich habe das ganze nun verstanden, dann danke ich mal euch beiden!