Was bedeutet S=(U,V,N) wirklich?

BCX · Gast

Hallo,

Ich habe die folgende Frage schon einmal in einem anderen Forum gestellt, aber da konnte man mir leider nicht helfen. Drum versuche ich's mal bei euch Big Laugh

Und zwar verstehe ich die Gleichung

Entropie = S(U,V,N)

nicht wirklich. Ich beschreibe mal mein Problem:

Die Entropie ist scheinbar eine Funktion der Energie, des Volumens und der Teilchenzahl, wobei diese drei Größen voneinander unabhängig sein sollen (obwohl diese Unabhängigkeit mir noch suspekt vorkommt, denn wenn N=0 dann kann U ja nicht verschieden 0 sein, aber das nur am Rande)

Jetzt mal jeweils ein Beispiel, bei dem die Entropie nur von U abhängt und eines, bei dem sie nur von N abhängt:

1) Auf drei Quantenoszillatoren wird die Energie 4 aufgeteilt, dann gibt es z.B. folgende Aufteilungen:
4/0/0
3/0/1
3/1/0
2/1/1
etc.
Dabei hat die Verteilung dann die höchste Wahrscheinlichkeit also auch Entropie, wenn ein Oszillator 3, ein anderer 1 und ein dritter keine Energie trägt (P=6/15)

2) Ein Volumen mit 3 gleich großen Teilvolumina enthält 4 Teilchen (die sich nicht gegenseitig beeinflussen), die sich auf diese 3 Teilvolumina aufteilen. Mathematisch passiert hier genau das gleiche, sprich: die Verteilung der Teilchen hat die höchste Entropie, wenn 3 Teilchen in einem Teilvolumen, 1 Teilchen in einem Teilvolumen und ein drittes Teilvolumen kein Teilchen enthält.

Diese zwei Beispiele haben mich zu folgender Überlegung geführt:

die Gleichung Entropie = S(U,V,N) müsste genauer heißen:
Entropie = S( Verteilung von U, Verteilung von V, Verteilung von N)

Nochmal in Worten: Wenn ich von einem System Aussagen über die Entropie treffen will, so muss ich das System theoretisch in viele kleine Subsysteme einteilen und dann schauen, wie sich die Energie U, das Volumen V und die Teilchenzahl N auf diese Subsysteme verteilt.

Diese Überlegung ist sicherlich falsch, denn in jedem Lehrbuch etc. sind U, V und N ja einfache Variablen und keine Verteilungen. Aber das 'Warum' will sich mir nicht erschließen. Ich habe auch das leichte Gefühl, dass ich bei der ganzen Sache Äpfel und Birnen verwechsle Hammer

Es wäre super, wenn ihr mir helfen könntet!

Gruß

BCX

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Zunächst ist die Verwendung von so etwas wie S(U,V,N) ja einfach, dass wenn du die innere Energie U, das Volumen V und die Teilchenzahl N eines Systems kennst, dann kannst du daraus in der Thermodynamik die Entropie S des Systems bestimmen.

In deinen Beispielen betrachtest du nun sehr kleine Systeme, von zum Beispiel 3 Teilchen, auf die eine bestimmte Energie verteilt wird, und versuchst daraus Aussagen über innere Energie und Entropie zu gewinnen.

In der Thermodynamik arbeitet man ja aber mit sehr großen Systemen, die aus einer unglaublich großen Anzahl von Teilchen bestehen. Befinden sich solche großen Systeme im thermodynamischen Gleichgewicht, dann werden die Werte zum Beispiel der gesamten inneren Energie sehr genau bestimmt.

Denn während in vielen Mini-Teilsystemen die innere Energie noch vom mittleren "Durchschnitts"-Wert für diese innere Energie merklich nach oben oder unten abweichen wird (so dass man von einem winzigen System mit nur einer Handvoll Teilchen nur mit einer relativ breiten Unsicherheit vorhersagen könnte, welcher Anteil an innerer Energie in ihm enthalten sein wird), ist der Gesamtwert der inneren Energie im gesamten System sehr, sehr genau bestimmt. Die Abweichungen in den vielen Mini-Teilsystemen mitteln sich im großen Gesamtsystem immer mehr weg, je größer das System wird. Und weil ein mol ja rund 10^23 Teilchen sind, sind alle üblichen thermodynamischen Systeme in sehr, sehr guter Näherung solche großen Systeme.

Kurz gesagt: Was du als Verteilungen siehst, in sehr kleinen Systemen, das wird durch die Statistik in sehr großen Systemen zu sehr bestimmten Werten, oder, wenn du so willst, zu Verteilungen mit winzig kleiner Verteilungsbreite.

Je größer ein System wird, umso genauer sind die Aussagen, die man mit Statistik über die Eigenschaften des Gesamtsystems (also über die makroskopisch in Erscheinung tretenden Systemgrößen) machen kann.

Hilft dir so etwas schon bei deinen Überlegungen weiter?

BCX · Gast

Du meinst also wenn Z Minisysteme ein Gesamtsystem bilden mit der inneren Energie U, dann ist U/Z ist sozusagen der Mittelwert der inneren Energie dieser Minisysteme (welche von diesem Wert auch Abweichungen haben können).

Aber da S=k*lnW muss doch die Entropie S von der 'Anzahl der Möglichkeiten' (Multiplizität W) abhängen, wie man U auf die einzelnen Minisysteme verteilen kann. Also reicht doch der Wert von U alleine nicht aus, um S zu bestimmen!?

Zwei Systeme mit, gleichem (festgelegten) Volumen V und gleicher (festgelegter) Teilchenzahl N haben die gleiche (festgelegte) innere Energie U.

Wenn U, V, und N konkrete Werte sind, dann ist also S(U1,V1,N1) = S(U2,V2,N2) = Die Systeme müssten die gleiche Entropie haben.

Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass zum Beispiel ein System mit 1mol He Atomen die gleiche Entropie haben soll wie 1mol O2 Moleküle. Die O2 Moleküle haben doch mehr Freiheitsgrade als so ein He Atom und deshalb gibt es viel mehr Möglichkeiten, die Energie auf das Sauerstoff System zu verteilen => höhere Multiplizität => höhere Entropie

Daher MUSS doch die Verteilung eine Rolle spielen, sonst wären ja solche statistischen Überlegungen wie oben praktisch fürn Arsch.
Denn was sonst ist denn mit Multiplizität gemeint, wenn nicht die Anzahl der Möglichkeiten, wie sich die Energie auf die Teilchen (bzw. Minisysteme) verteilen kann?

I'm slightly confused Big Laugh

Gruß

BCX

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, da hast du Aussagen, die sich erstmal auf Beispiel mit nur einer einzigen Teilchensorte bezogen haben (mit sowas fängt man in den Erklärungen und Betrachtungen meist an, damits übersichtlich und leichter durchschaubar bleibt), als zu allgemeingültig missverstanden.

Einatomige und zweiatomige Moleküle haben nicht dieselbe Gleichung S(U,V,N), denn das chemische Potential

in diesen Gleichungen kann je nach Stoff (Wechselwirkung zwischen den Atomen, etc.) einen unterschiedlichen Wert haben.

Wenn du zum Beispiel ein System hast, das mehr als eine Teilchensorte enthält, brauchst du deshalb normalerweise mehr Variablen in dieser Funktion S(U,V,N_1, N_2, ...)