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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3248
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3248
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 VeryApe Verfasst am: 04. Dez 2010 10:03 Titel: |
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Meine Ableitung per Kraftansatz.
Ich betrachte zunächst mal einen Kreisring mit Ausdehnung db->0 und dr->0 der auf der u Achse liegt die genau durch den Schwerpunkt geht, danach weite ich das auf die komplett Kreisfläche aus, wodurch wir eine unendlich dünne Kreisscheibe betrachten mit db->0 die auf der u Achse durch den Schwerpunkt liegt, danach weite ich das dann über die Breite aus, sodass wir die komplette Münze betrachten.
Vielleicht kann wer drüber sehen ob er einen Fehler findet, oder ob alles richtig ist.
zunächst mal wirken alle Zentripetalkräfte der Massepunkte in der xy Ebene, und zwar interessiert uns nur dFzy eines Massepunktes und das Kraftmoment auf den Schwerpunkt. dFzx löscht sich gegenseitig drehend auf durch die Körpersymmetrie.
Aus der xy Projektion geht hervor für jeden Massepunkt:
=dFz² * y² \rightarrow dFzy=\frac {dFz*y}{\sqrt {x²+y²}} )
dFz eines Massepunktes:
das oben eingesetzt:
Das Kraftmoment bezüglich des Schwerpunkt um die x Achse ergibt uns dann das Zentralkraftmoment. dFzy dreht natürlich je nach Lager des Massepunktes auch um die z-Achse, aber auch das interessiert nicht, weil sich das aus symmetrie gründen aufhebt. Es interessiert nur das Moment um die x Achse wie in der Skizze eingezeichnet.
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Zentralkraftmoment eines Massepunktes:
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Nun geh ich zur ux Ebene und betrachte alle Massepunkte auf den braun eingezeichneten Kreisring der auf der u Achse (Blick yz Ebene) durch den Schwerpunkt liegt. Mit einem zusätzlichen Blick auf die yz Ebene ergibt sich für alle Massepunkte die auf den Kreisring liegen.
eine Koordinatentransformation von:
Das gilt nicht nur für den braun eingezeichneten Kreisring, sondern für alle Kreisringe die auf der u Achse (Blick yz Ebene) liegen und durch den Schwerpunkt gehen, also für die Gesamte Kreisfläche auf der u Achse.
daher:
Nun also Blick auf die ux Ebene,
Die Masse eines Massepunktes, ein Massepunkt wird über einen Winkelauschschnitt dphi angenommen, phi natürlich in Radiant:
Die Fläche eines Massepunktes ist der Umfang pro Winkel *dr
daher:
das Zentralmoment eines Kreisringes auf der u Achse.
 )
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Zentralmoment eines Kreisringes auf der u Achse durch den Schwerpunkt:
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Nun weite ich das über alle Kreisringe auf der u Achse auf wodurch wir eine Scheibe betrachten. Ich summiere über alle Kreisringe.
das Zentralmoment einer unendlichen dünnen Scheibe die durch den Schwerpunkt des Objekts auf der u Achse liegt.
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Zentalmoment einer unendlich dünnen Scheibe (Münze) die um die z-Achse durch den Schwerpunkt unter alpha geneigt rotiert:
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Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 04. Dez 2010 11:23, insgesamt einmal bearbeitet |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3248
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| VeryApe Verfasst am: 04. Dez 2010 10:35 Titel: |
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Es geht weiter
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Muenze II.gif |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3248
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| VeryApe Verfasst am: 04. Dez 2010 11:21 Titel: |
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das gute an der Rotation ist, das man Teile eines rotierenden Körpers ausschneiden kann, deren neuen Schwerpunkt man bestimmt.
Jeder Ausschnitt rotiert dabei selbst mit omega des Gesamtkörpers um die parallel verschobene Achse. Der Unterschied ist nur jeder hat eine andere Schwerpunktsgeschwindigkeit von omega*r_Drehachse, weil er sich auf unterschiedlichen Bahnen um die eigentliche Drehachse bewegt.
Der Ausschnitt translaiert also um die eigentliche Drehachse mit vs=omega*r_Drehachse und rotiert dabei selbst mit omega um seinen eigenen Schwerpunkt, genauso wie der Gesamtkörper.
Für das translaieren um die eigentliche Drehachse muß man natürlich die Schwerpunktsgeschwindigkeit umlenken.
Die Schwerpunktsgeschwindigkeit einer dünnen Scheibe
Die benötigte Zentripetalkraft einer dünnen Scheibe aufgrund vs
das Zentralkraftmoment einer Scheibe aufgrund dieser Zentripetalkraft:
Das benötigte Zentralmoment aufgrund umlenken der Schwerpunktsgeschwindigkeit der dünnen Scheiben die ausserhalb des Gesamtschwerpunkts liegen.
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Benötigtes Zentralmoment aufgrund umlenken der Schwerpunktsgeschwindigkeit der Scheiben gegen Uhrzeigersinn drehend.
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Benötigtes Zentralmoment aufgrund Drehung der Scheiben um ihren eigenen Schwerpunkt im Uhzeigersinn drehend:
da sich alle Scheiben gleich um ihre Schwerpunkte drehen in der gleichen Schrägstellung ist dM_Sz für alle gleich,
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Das gesamte benötigte Zentralmoment ist die Summe. positiv uhrzeigersinn drehend
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 \cdot m_{Muenze} * \omega_{z}² \cdot cos \alpha * sin \alpha )
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 04. Dez 2010 13:38 Titel: |
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Zunächst fällt mir auf, dass dein Koordinatensystem in deiner Skizze ein linkshändiges ist .... Sollte allerdings keine Auswirkung auf deine Rechnung gehabt haben.
Meine Rechnung mittels Tensor:
Den Trägheitstensor habe ich zunächst für die "nicht schiefe" Münze berechnet - also in einem relativ zu deinen gedrehten Koordinatensystem:
Nun drehe ich den Tensor und somit die Münze mittels der Drehmatrix in dein Koordinatensystem:
 &-\sin \left( \alpha \right) \\ \noalign{\medskip}0&\sin \left( \alpha \right) &\cos \left( \alpha \right) \end {array}\right] )
Das liefert den Trägheitstensor im gesuchten Koordinatensystem:
 &0&0\\ \noalign{\medskip}0&1/4\, \left( \cos \left( \alpha\right) \right) ^{2}m \left( {R}^{2}+1/3\,{B}^{2} \right) +1/2\, \left( \sin \left( \alpha\right) \right) ^{2}m{R}^{2}&1/4\,\cos\left( \alpha \right) m \left( {R}^{2}+1/3\,{B}^{2} \right) \sin\left( \alpha \right) -1/2\,\sin \left( \alpha \right) m{R}^{2}\cos\left( \alpha \right) \\ \noalign{\medskip}0&1/4\,\cos \left( \alpha\right) m \left( {R}^{2}+1/3\,{B}^{2} \right) \sin \left( \alpha\right) -1/2\,\sin \left( \alpha \right) m{R}^{2}\cos \left( \alpha\right) &1/4\, \left( \sin \left( \alpha \right) \right) ^{2}m\left( {R}^{2}+1/3\,{B}^{2} \right) +1/2\, \left( \cos \left( \alpha\right) \right) ^{2}m{R}^{2}\end {array} \right] )
Das Drehmoment ergibt sich nun über:
mit
ergibt sich:
 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} )
Dein Ergebnis scheint also richtig zu sein ! 
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3248
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| VeryApe Verfasst am: 04. Dez 2010 22:03 Titel: |
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okay vielen dank an pressure,
sag mal das was du da mit dem Trägheitstensor errechnet hast. Das steht jetzt kurz und auf den Punkt gebracht da.
Aber das kostet doch auch einige Ableitungen oder?
Ich mein wenn ich mir jetzt meine Kraftableitung anschaue alle Erklärungen weglösche, und die Schritte nicht so ausschmücke, dann ist meine Ableitung trotzdem viel länger.
Mich hätte jetzt interessiert, welche Ableitung länger ist.
Okay bei Kräften braucht man ein gutes Kraftverständnis und das Wissen wie man die Rotation aufsplitten kann.
Der Trägheitstensor ist halt mathematischer und glaube ich einfacher oder?
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 05. Dez 2010 09:25 Titel: |
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Eigentlich ist die Berechnung des Tensors die kleinste Rechnung - Aufgrund
des gewählt Koordinatensystem und resultierenden Symmetrie der Münze erkennt man, dass alle Nebenelemente verschwinden.
Dann ergeben sich die Hauptelemente  ,  und  zu:
Aufgrund der Symmetrie sollte auch klar sein, dass und identisch sind. Dann müssen halt die Integrale berechnet werden - sinnvollerweise in Zylinderkoordinaten. Beispielhaft:
 \cdot r \, dr\, dz\, d\phi = ...= \frac{\rho \pi}{4}(R^4\cdot B + \frac{1}{3}\cdot B^3\cdot R^2))
Mit  ergibt sich damit bzw. . Rechnung für ist analog nur noch ein Tick einfacher.
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