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Nachricht |
Nixda
Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 49
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 Nixda Verfasst am: 26. Nov 2010 20:15 Titel: Sphärisches Oszillatorpotential |
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Hey, ich möchte die Bahnkurve ) im Potential  = \alpha r^2) bestimmen.
Aus der Vorlesung ist bekannt:
 = \varphi(r_0) \pm L_Z \int_{r_0}^r \! \frac{dr'}{r'^2\sqrt{2m(E - V_{eff}(r))}})
Ich habe das effektive Potential bestimmt:
 = \frac{L_Z^2}{2mr^2} + \alpha r^2)
Damit ergibt sich:
 = \varphi(r_0) \pm L_Z \int_{r_0}^r \! \frac{dr'}{r'^2\sqrt{2m(E - \frac{L_Z^2}{2mr^2} - \alpha r^2)}})
Nun ist mir nicht klar, wie ich substituieren muss, damit ich auf die Loesung des Integrals komme. Anschließend wuerde ich die Umkehrfunktion bilden und hoffentlich auf das bereits bekannte Ergebnis kommen:
mit 
Hat jemand Tips fuer die Substitution, bzw. ist ein anderer "Trick" notwendig?
Vielen Dank
Zuletzt bearbeitet von Nixda am 26. Nov 2010 20:26, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Packo
Gast
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| Packo Verfasst am: 26. Nov 2010 20:20 Titel: |
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Tipp: das Latexende üben!
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Nixda
Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 49
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| Nixda Verfasst am: 26. Nov 2010 20:26 Titel: |
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| Packo hat Folgendes geschrieben: | | Tipp: das Latexende üben! |
Gut, dann wirst du mir jetzt sicher helfen koennen, wa?
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 26. Nov 2010 22:03 Titel: Re: Sphärisches Oszillatorpotential |
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| Nixda hat Folgendes geschrieben: | [...]
Nun ist mir nicht klar, wie ich substituieren muss, damit ich auf die Loesung des Integrals komme. [...] Hat jemand Tips fuer die Substitution, bzw. ist ein anderer "Trick" notwendig?[...] |
Wie du aus dem gegebenen Ergebnis siehst, ist die Lösung des Integrals eine Arcussinusfunktion. Dafür würde ich in die Formelsammlung (oder ein Algebraprogramm) schauen und dann gucken, wie ich das Integral in die passende Form kriegen kann.
Demnach müsstest du den r in deiner Wurzel auch Striche verpassen.
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Nixda
Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 49
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| Nixda Verfasst am: 27. Nov 2010 19:05 Titel: Re: Sphärisches Oszillatorpotential |
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| Chillosaurus hat Folgendes geschrieben: |
Wie du aus dem gegebenen Ergebnis siehst, ist die Lösung des Integrals eine Arcussinusfunktion. Dafür würde ich in die Formelsammlung (oder ein Algebraprogramm) schauen und dann gucken, wie ich das Integral in die passende Form kriegen kann.
Demnach müsstest du den r in deiner Wurzel auch Striche verpassen. |
Das mit dem Arcussinus ist mir klar. Ich habe es auch probiert auf die "erforderliche" Form zu bringen, aber ich bekomme es nicht hin.
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 27. Nov 2010 20:40 Titel: |
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Ok, dann Hinweise dazu:
1. 1/r -> u substituieren
2. Gamma wie vorgeschlagen einsetzen
3. Binomische Formel
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 28. Nov 2010 01:44 Titel: |
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Wie in jedem Zentralfeld verläuft die Bewegung in einer Ebene, meinetwegen xy. Mit LAGRANGE 2 sofort einfache Schwingung mit gemeinsamer Frequenz:
;b cos(\omega t + B] ) mit 
Übrigens, neben dem bekannten 1/r, das einzige Zentralfeld, wo alle Bahnen finiter Bewegung geschlossen sind.
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Nixda
Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 49
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| Nixda Verfasst am: 28. Nov 2010 04:58 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: |
Übrigens, neben dem bekannten 1/r, das einzige Zentralfeld, wo alle Bahnen finiter Bewegung geschlossen sind. |
Kannst du (Kann man) mir das nochmal verstaendlicher, d.h. umschreibender formulieren?
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 28. Nov 2010 09:24 Titel: |
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| Nixda hat Folgendes geschrieben: | | franz hat Folgendes geschrieben: |
Übrigens, neben dem bekannten 1/r, das einzige Zentralfeld, wo alle Bahnen finiter Bewegung geschlossen sind. |
Kannst du (Kann man) mir das nochmal verstaendlicher, d.h. umschreibender formulieren? |
Für ein 1/r Potential gibt es elliptische Lösungen.
Für ein anderes Zentralfeld zum Beispiel mit dem Potential proportional zu 1/r² gibt es keine geschlossenen Lösungen, d.h. es werden in einem gewissen Volumen fast alle Punkte überschritten (Begrenzt durch den Energie- und Drehimpulserhalt).
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Sonderfälle
Gast
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| Sonderfälle Verfasst am: 28. Nov 2010 10:19 Titel: |
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Sonderfälle sollte man beachten
indezine.com/products/powerpoint/cool/images/spirograph_12.gif
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 28. Nov 2010 12:16 Titel: |
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| Chillosaurus hat Folgendes geschrieben: | | Für ein 1/r Potential gibt es elliptische Lösungen. |
Bei r² natürlich auch Ellipsen; Mittelpunkt (0;0); Hauptachsen a, b (?).
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Gast_Neuhier
Anmeldungsdatum: 26.01.2019
Beiträge: 7
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| Gast_Neuhier Verfasst am: 27. Nov 2019 18:59 Titel: |
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Weil es mich selber immer nervt, wenn man auf solche Posts findet, aber der konkrete Lösungsweg nicht ersichtlich wird, werde ich jetzt einfach mal meine Lösung hier reinstellen (Mit 9 Jahren Verspätung  ).
Die Aufgabe ist außerdem im Arbeitshandbuch zur Theoretischen Physik - Repetitorium und Übungsbuch von Torsten Fließbach und Hans Walliser zu finden. Da dort das fertige Integral einfach hingeschrieben wird und ich das eher nicht so elegant finde (wie soll man da direkt drauf kommen?) habe ich das mit allgemein bekannten Integralregeln nochmal ausgerechnet. Viel Spaß allen weiteren, die diesen Post auch noch entdecken werden 
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