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Ruhezustand mit Lennard-Jones-Potential berechnen
 
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limpor
Gast





Beitrag limpor Verfasst am: 04. Sep 2010 11:25    Titel: Ruhezustand mit Lennard-Jones-Potential berechnen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem, es geht um ein Teilchengebiet in Form eines Würfels.
In diesem Teilchengebiet sind 7x7x7 Teilchen, die jeweils den gleichen Abstand von 0.5 (Einheiten, man kann mm nehmen, egal) in allen drei Dimensionen haben. Das Gebiet soll im absoluten Ruhezustand sein, alle Kräfte sollen ausgeglichen sein.

Meine Ideen:
Ich habe die Formel des Potentials:



und die der Kraft zwischen zwei Teilchen i und j:



Meine Konstante habe ich frei gewählt (es geht um kein reales Material).

Den CutOff-Radius habe ich so gewählt, dass alle Teilchen (sind dann 9 oben 9 unten und 8 in der gleichen Ebene = 26 Teilchen) das betrachtete Teilchen direkt umgeben, eine Kraft auswirken, der Rest nicht (Erfahrungswert).

Meine Frage ist jetzt:

Wie kann so berechnen, dass im gesamten Teilchengebiet alles ausgeglichen ist. Man beachte die Teilchen am Rand, an den Kanten und in den Ecken.

Meine Idee wäre gewesen, die Kräfte auf ein Teilchen zu addieren und gleich Null zu setzen, da ja keine Kraft auf das Teilchen wirken soll. Allerdings ergeben sich dann für Teilchen an Kanten oder Ecken andere .
StudentT



Anmeldungsdatum: 02.03.2009
Beiträge: 148

Beitrag StudentT Verfasst am: 06. Sep 2010 10:13    Titel: Re: Ruhezustand mit Lennard-Jones-Potential berechnen Antworten mit Zitat

Hallo!

limpor hat Folgendes geschrieben:
Meine Idee wäre gewesen, die Kräfte auf ein Teilchen zu addieren und gleich Null zu setzen, da ja keine Kraft auf das Teilchen wirken soll. Allerdings ergeben sich dann für Teilchen an Kanten oder Ecken andere .


Intuitiv würde ich sagen, dass das so immer so sein wird. Oberflächenteilchen spüren nun mal (auch in der Realität) eine stärkere Wechselwirkung. Du wirst also entweder die Abstände für diese Teilchen variieren müssen oder das . Wie gesagt, dazu habe ich nichts gerechnet, das ist nur eine intuitive Meinung.

Gruß,
Markus
limpor
Gast





Beitrag limpor Verfasst am: 06. Sep 2010 12:01    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für die Antwort.
Wenn noch jemand Ideen hat, immer her damit, bin über alles dankbar.
shesse



Anmeldungsdatum: 16.08.2010
Beiträge: 27
Wohnort: Köln

Beitrag shesse Verfasst am: 06. Sep 2010 23:27    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
...es geht um ein Teilchengebiet in Form eines Würfels.
In diesem Teilchengebiet sind 7x7x7 Teilchen, die jeweils den gleichen Abstand von 0.5 (...) in allen drei Dimensionen haben. Das Gebiet soll im absoluten Ruhezustand sein, alle Kräfte sollen ausgeglichen sein.

Und dann gibst Du ein radialsymmetrischen Lennard-Jones-(12,6)-Potential an.

- Meint die Aufgabe vielleicht: Die Startkonfiguration ist ein Würfel, zwischen den Teilchen wirkt die aus diesem Potential resultierende Kraft, gesucht ist der Endzustand?
Oder suchst Du einen beliebigen (gibt es mehrere?) stabilen Zustand von 7x7x7 Teilchen unter dieser Kraft.

Der erste Fall wird immer ein dynamischer sein.
Der zweite ist eigentlich unabhängig von der Startkonfiguration.
Daher ist mir die Aufgabe nicht wirklich klar.
(Was hat das Ganze eigentlich mit Quantenphsik zu tun?)
Warum willst du setzen? Man kann das in der Lösung doch schön stehen lassen.
Was macht denn dieser "cut-off-Radius" eigentlich so?
Kannst Du das vielleicht noch etwas genauer erklären?

Eigentlich kann man auch ganz gut versuchen bei einem radialsymmetrischen Potential mit einer Mulde sich der stabilen Gleichgewichtslösung stückchenweise zu nähern. Die Potentialmulde befindet sich kugelförmig um jede Teilchenposition. Jeder (direkte) Nachbar kann stabil nur in dieser Mulde aufhalten. Und dann aufsummieren (wegen der Symmetrie vielleicht paarweise), bis alles Teilchen aufgebraucht sind oder die Vorstellungskraft versagt. Eigentlich braucht man aber nur eine elementare Gitterzelle zu "bauen".
Mehr Tipps braucht es nicht, oder?
limpor
Gast





Beitrag limpor Verfasst am: 08. Sep 2010 12:37    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
- Meint die Aufgabe vielleicht: Die Startkonfiguration ist ein Würfel, zwischen den Teilchen wirkt die aus diesem Potential resultierende Kraft, gesucht ist der Endzustand?
Oder suchst Du einen beliebigen (gibt es mehrere?) stabilen Zustand von 7x7x7 Teilchen unter dieser Kraft.


Die Frage ist, ob es für ein Teilchengebiet (genau in der Ausgangskonfiguration) in Form eines Würfels ein gibt, für das das Teilchengebiet im ausgeglichenen Zustand ist.

Zitat:
(Was hat das Ganze eigentlich mit Quantenphsik zu tun?)

Ich wusste nicht genau wozu diese Frage gehört, es hat aber was mit Wechselwirkung von Teilchen zu tun.

Zitat:
Warum willst du setzen? Man kann das in der Lösung doch schön stehen lassen.

Kann man machen, für mich ist es aber unpraktisch, da ich mit einem Programm arbeite, das keine Variablen verarbeitet.

Zitat:
Was macht denn dieser "cut-off-Radius" eigentlich so?

Mit dem Lennard-Jones-Potential berechnet man immer z.B. die Kraft zwischen zwei Teilchen. Die Kraftwirkung der Teilchen nimmt mit größer werdendem Abstand exponentiell ab. Der CutOff-Radius wird so gewählt, dass falls der Abstand größer ist als der CutOff-Radius, die Kraft der Teilchen nur noch sehr gering ist und sie vernachlässigt werden kann. Sonst müssten bei großen Teilchengebieten extrem viele Kräfte berücksichtigt werden, die das Ergebnis fast nicht beeinflussen.

Mittlerweile glaube ich, dass aufgrund der Oberflächeneffekte kein existiert, dass den Ruhezustand des Teilchengebiets in der Ausgangskonfiguration (Würfel) beschreibt. Es gibt vielleicht eine stabile Anordnung, die dann aber höchstwahrscheinlich nicht's mehr mit der Form eines Würfels zu tun hat.
StudentT



Anmeldungsdatum: 02.03.2009
Beiträge: 148

Beitrag StudentT Verfasst am: 08. Sep 2010 13:26    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Noch eine Idee, die ich für dein Programm habe: Hast du vielleicht schon mal von periodischen Randbedingungen gehört? So kannst du dann ohne Oberflächeneffekte zu berücksichtigen mit wenigen Teilchen deinen Lennard-Jones-Kristall simulieren. Eine 2D-Simulation von Teilchen mit Lennard-Jones-Wechselwirkung wird im Physikpraktikum für Chemiker an der LMU München durchgeführt. Die Anleitung zu diesem Praktikumsversuch findest du hier (als PDF-Datei). Das Programm selbst hätte ich irgendwo noch herumliegen sowie viel zusätzliches Material, das ich bei der Betreuung dieses Versuches mal erstellt habe. Es ist halt alles nur in 2D... aber die Physik ist eigentlich die gleiche. Wenn du irgendwas davon haben willst, kannst du dich gerne auch privat bei mir melden.

Gruß
Markus
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 08. Sep 2010 16:01    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin einverstanden mit der Einschätzung, dass man hier typischerweise am Rand andere mittlere Abstände zwischen den Teilchen bekommen wird als in der Mitte. Auch in Festkörpern ist ja die Teilchenanordnung an der Oberfläche anders als im Innern.

Um eine Gleichgewichtsverteilung der Teilchen zu finden, würde ich eine Simulation vorschlagen, die auf zufälligem Würfeln beruht. Das könnte zum Beispiel so gehen:

* Für jedes der 7*7*7 = 343 Teilchen, die da reinsollen, wird eine Startposition erwürfelt, einfach zufällig.

* Für die so entstandene zufällige Anordnung von Teilchen pickt man sich dann zufällig eines der Teilchen raus, berechnet die resultierende Kraft auf dieses Teilchen, und verschiebt dann das Teilchen ein (ausreichend kleines) Stückchen weit in die Richtung dieser resultierenden Kraft.

* und das lässt man einfach mal lange genug laufen, und schaut dann, ob sich dann von selber eine Konstellation herausbildet, die sehr nahe an so einem gesuchten Gleichgewicht ohne resultierende Kräfte ist.

Und dann ist man fertig, und lässt sich das Resultat am besten schön grafisch darstellen, vielleicht macht man auch eine Statistik-Ausgabe von all den Teilchenabständen (zwischen relativ nahen Nachbarn), die sich dann in dieser Gleichgewichtskonstellation ergeben haben.

---------------------------------

Falls so eine Simulation noch nicht schnell genug laufen sollte, oder falls sie gerne noch irgendwie mal zu lange in einem Nichtgleichgewichtszustand verharren sollte, bevor sich da was tut, könnte man versuchen, die Sache noch etwas zu beschleunigen. Zum Beispiel mit Zusatzmaßnahmen wie:

* Beim Positionen erwürfeln am Anfang könnte man fordern, dass die Position eines neuen Teilchens nur dann erlaubt wird, wenn sie einen gewissen Mindestabstand zu allen bisher schon vorhandenen Nachbarn einhält. Denn zu nahe aufeinandersitzende Teilchen müssten ja dann am Ende sowieso von der Simulation wieder allmählich voneinander entfernt werden.

* Vielleicht ist es weniger Aufwand, wenn man für dieselbe Konstellation gleich für mehrere (oder alle) Teilchen gleichzeitig die resultierende Kraft berechnet und dann alle auf einmal einen Schritt weit bewegt (oder einen Teil aller Teilchen bewegt, nämlich alle mit dem jeweils stärksten Betrag der resultierenden Kraft). Da könnte man eventuell viele Teilberechnungen von Kräften zwischen Teilchen mehrfach verwenden und dadurch unter Umständen Rechenzeit sparen. Und man würde häufer Rechenschritte erleben, in denen sich entscheidende Teilchen bewegen, die bisher vielleicht noch eine Entspannung von Kräfteungleichgewichten blockiert haben.

* Oder man wählt die Länge des Stückes, um das man ein Teilchen in einem Schritt bewegt, proportional zur ermittelten resultierenden Kraft auf das Teilchen. Auch das könnte den Ablauf der Simulation beschleunigen.

------------

Die ganze Methode bedeutet also im wesentlichen: Die Teilchen alle mal irgendwie in den Würfel reinschmeißen und sie sich von selber zurechtrütteln lassen.
shesse



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Beiträge: 27
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Beitrag shesse Verfasst am: 08. Sep 2010 23:12    Titel: Antworten mit Zitat

Wozu ein Programm? Meiner Meinung nach kann man die Aufgabe mit Anschauung lösen
Vergiss zunächst mal den Rand.
Wir haben ein Potential, dass eine Mulde im Abstand

hat. Wir wissen, genau in dieser Mulde finden Teilchen eine stabile Position.(Oder, ist das unklar?)
Mit dem kann man die Mulde beliebig tief machen und das Teilchen damit "festnageln".
Ich hatte Dir vorher schon eine Konstruktion für statische Lösungen beschrieben: Jede Lösung bei der sich die Mitspieler in einer Mulde befinden ist "stabil". Also hat man letztlich einen Ball von stabilen Positionen um ein Teilchern herum. Jede Anordnung sich berührender Bälle ist statisch erlaubt. Die Potentiale summieren sich nicht überall gleich auf, s.d. die Mulden verschieden tief sind. Da wir die Muldentiefe selber bestimmen können, läßt sich dabeit aber vieles konstruieren.
Also, letzer Lösungschritt: Da die Anordnung ja vorgegeben ist, muss nur noch der Muldenabstand passend zum Teilchenabstand gewählt werden
(Würfelseitenlänge / 6)
Dann wählt man so, dass die Nachbarn die Mulde nicht "versanden" (d.h. durch ihre Beiträge flach werden lassen). Welches Teilchen im Würfel bekommt die meisten Beiträge von den anderen? Richtig, die Mitte. Also mal diese Summe hinschreiben. Wenn dieses Teilchen in einer Mulde (von den direkten Nachbarn) liegt, die diesen Beitrag kompensiert, ist die Aufgabe gelöst. Nicht vergessen: Das eigene Potential eines Teilchen wirkt nicht auf das Teilchen selbst.
(Offenbar handelt es sich nicht um die stabilste Anordnung.)
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 09. Sep 2010 01:26    Titel: Antworten mit Zitat

shesse, ich denke, deine Überlegung mit der Mulde würde prima für ein System mit zwei Teilchen funktionieren.

Hier haben wir allerdings ein System mit vielen Teilchen. Da muss sich noch herausstellen, was für eine Sorte Gitterstruktur sich im Gleichgewichtszustand ausbilden kann, und wie sehr dieses Gleichgewicht unter Umständen dadurch verändert wird, dass möglicherweise "zu viele" Teilchen in dem Würfel sind, so dass alle ein bisschen mehr als "normal" zusammengedrückt werden.

limpor, hast du schon eine genauere Vorstellung davon, welche Art Randbedingung für die Wechselwirkung der Teilchen mit den Wänden du annehmen wolltest?
shesse



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Beitrag shesse Verfasst am: 10. Sep 2010 00:33    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus, ich verstehe die Aufgabe so: Die Teilchen im Würfelgitter haben einen kräftefreien Zustand. Gesucht sind die Potentialparameter, mit denen das geht.

Den Lösungsweg dazu habe ich beschrieben. Der Trick ist gerade, dass das Potential für eine statisch Lösung gut ist. Denn das Teilchen befindet sich genau dann im kräftefreien Zustand, wenn es an einem Minimum des Potential ist (für unsere Situation). Bei dem hier gegebenen Potential wäre der einzige Grund, warum das nicht gehen sollte, die Verwandlung der Mulde in eine Rampe.

Man kann das Potential auch explizit hinschreiben, das ist lediglich Fleißarbeit. Jetzt wo ich das getan habe, denke ich die Lösung ist einfach nur trivial. Auch wenn die Mulden am Rand flacher sind, bleibt sie an der selben Stelle.

Ich nenne die Würfelkantenlänge (den Abstand der Teilchen) a.

nun den Abstand in Würfeleinheiten



kurzer Check, was das bedeutet

Die Mulde hat die Tiefe Epsilon und wird schnell flacher.
Im uns interessierenden Bereich sind die Beiträge alle negativ, daher kann die Lösung nicht beschädigt werden. Und die weiter als 2 entfernten Beiträge verändern das Bild nicht.

Um das Potential nun explizit anzugeben braucht man nur noch addieren.
Betrachten wir einen beliebigen Gitterpunkt und benennen die Nachbarschaft durch den Abstand und zählen, wieviele es davon gibt.


Na, die Summe muss jetzt nicht auch noch hinschreiben aber es dürfte klar sein, dass auch am Rand die Mulde am Gitterpunkt liegt, auch wenn die Mulden dort flacher sind als in der Mitte.
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 10. Sep 2010 02:36    Titel: Antworten mit Zitat

shesse hat Folgendes geschrieben:
dermarkus, ich verstehe die Aufgabe so: Die Teilchen im Würfelgitter haben einen kräftefreien Zustand. Gesucht sind die Potentialparameter, mit denen das geht.

Ah, stimmt, shesse, limpor schreibt tatsächlich als Voraussetzung des ganzen, dass das ein Würfelgitter mit festen Abständen sein soll.

Weißt du schon, ob in deinem Modell eventuell durch die vom Kristallinnern zur Kristalloberfläche hin abnehmende Muldentiefe dazu führen kann, dass die Mulden in diesem Übergangsbereich etwas zum Kristallinnern hin von ihrer "Würfelgitterausgangsposition" verschoben sind? Und ob diese Verschiebung eventuell so groß wäre, dass man sie nicht so richtig schön vernachlässigen könnte?

Falls das der Fall wäre, könnte ich mir vorstellen, dass man zu so etwas wie periodischen Randbedingungen greifen müsste, wie schon von StudentT angesprochen.

limpor, hast du für das ganze eventuell eine komplette, wörtliche Aufgabenstellung, der man Details eventuell noch ein bisschen besser ansehen könnte?
limpor
Gast





Beitrag limpor Verfasst am: 11. Sep 2010 10:54    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
limpor, hast du für das ganze eventuell eine komplette, wörtliche Aufgabenstellung, der man Details eventuell noch ein bisschen besser ansehen könnte?


Ich habe leider keine explizite Aufgabenstellung. Ich arbeite in einer Studienarbeit und ein kleiner Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit Teilchengebieten.

Zitat:
Na, die Summe muss jetzt nicht auch noch hinschreiben aber es dürfte klar sein, dass auch am Rand die Mulde am Gitterpunkt liegt, auch wenn die Mulden dort flacher sind als in der Mitte.


Wenn ich dich richtig verstehe, sagst du, dass die Parameter ( und) im Teilchengebiet (zum Rand hin) andere Werte annehmen?
Falls das der Fall sein sollte ist doch das Gesetz actio gleich reactio verletzt? Die wirkenden Kräfte zwischen einem Teilchenpaar hätte für verschiedene Parameter verschiedene Beträge, obwohl es sich um das gleiche Teilchenpaar handelt.
shesse



Anmeldungsdatum: 16.08.2010
Beiträge: 27
Wohnort: Köln

Beitrag shesse Verfasst am: 12. Sep 2010 23:25    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Wenn ich dich richtig verstehe, sagst du, dass die Parameter ( und) im Teilchengebiet (zum Rand hin) andere Werte annehmen?

Also eigentlich meine ich, dass und für jedes Teilchen gleich bleiben. Leider habe ich etwas zu simpel gedacht. Wenn die Aufgabe ist, mit diesem Potential diesen Würfel exakt zu bauen, müßte man wohl tatsächlich passende Parameter pro Teilchen finden. Actio=Reactio ist dabei nicht verletzt, wenn sich jedes Teilchen in einer Mulde des Restteilchenpotentials befindet.

Zitat:
Weißt du schon, ob in deinem Modell eventuell durch die vom Kristallinnern zur Kristalloberfläche hin abnehmende Muldentiefe dazu führen kann, dass die Mulden in diesem Übergangsbereich etwas zum Kristallinnern hin von ihrer "Würfelgitterausgangsposition" verschoben sind? Und ob diese Verschiebung eventuell so groß wäre, dass man sie nicht so richtig schön vernachlässigen könnte?

Ich habe leider irrtümlich angenommen, der Beitrag der Teilchenpotentiale, die nicht die Mulde bilden, würde sich nur auf die Tiefe der Mulde auswirken. Das ist natürlich Blödsinn Hammer Vereinfachtes Modell: Ich stelle mir vor die Mulde würde duch eine Parabel dargestellt, der entfernte Beitrag durch einen linearen Beitrag ( dann verschiebt sich die Mulde zu

Okay, also wie groß ist die Abweichung?
Nun, man kann ja das Potential mal allgemein hinschreiben (ausgehend von den vorgegebenen Gitterpositionen):

Ich betone da noch einmal die Vektorabhängigkeit, die man bedenken muss, wenn man die unterschiedlichen (Richtungs-)Beiträge zur Kraft braucht. In der Mitte ist in der (mittelpunkt)symmetischen Verteilung die Kraft null, weil sie sich dort paarweise aufheben. Aus dem Grunde erwarten wir in der Ecke die größte Abweichung von der Startlage.
"Natürlich" berechnen wir V(x) nur an den Gitterpunkten selbst, s. d. sich die Summe stark vereinfacht, auf die Terme und deren Abstände von diesem Gitterpunkt (mit geeigneten Koordinaten):

Also für den Mittelpunkt gehen die Indizes von (100),(110),(111),(200)...(333), mit den Abständen und Anzahlen, die ich beim letzten Mal angegeben hatte.
Beim Verwenden der Formel ist schön, dass mit den einzelnen Termen auch gut einzeln weiter gerechnet werden kann. Schlecht ist, das man die verschiedenen Terme so gar nicht zusammenfassen kann. Und beim Ableiten muss man auf die Richtungsterme wieder achten.

Nagut, jetzt suchen wir die Minima in diesem Potential. Dazu bilden wir mal die Ableitungen:

Jetzt sind die Ableitungen ziemlich unhandlich, also werden wir uns der Situation einfach mal annähern. Genau, einfach eine Taylerentwicklung an dem Punkt, den wir uns ansehen wollen.

So, das nun über alle Teilchen aufsummieren und die noch an den Richtungsfaktor denken, gibt eine beliebig genaue Näherung (ggf. wenn man höhere Terme dazu nimmt). Hier reicht wohl die quadratische Ordnung und die entfernteren Teilchen kann man wohl auch weg lassen.
Der Rest ist echte Fleißarbeit.
Mal an einem einfachen Beispiel: Linear zwei Teilchen bei 1 und 2, suche die Abweichung bei 0.
Ich komme da auf so etwas:

Ich habe mich vielleicht an der ein oder anderen Stelle verrechnet, aber das Prinzip dürfte deutlich geworden sein. Insbesondere hängt die Verschiebung nicht von der Muldentiefe ab. Wenn man es ganz genau mal für eine Ecke ausrechnet, sieht man schon eine beträchtlich Abweichung.
Offenbar ist die Anfangskonfiguration keine statisch Lösung. Die Teilchen würden in die Mulde fallen und man hätte ein neues Potential, um damit die Minima zu bestimmen. Wenn es konvergiert, könnte man sich so iterativ einer stabilen Lösung nähern, die dem Würfel am nächsten kommt.
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