Elastizitätsmodul

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Hallo zusammen.

Ich frage mich gerade, was man beim Elastizitätsmodul unter kleinem Epislon vorzustellen hat., so dass man im Linearen Bereich bleibt.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was der Autor mit dem kleinen epsilon meint, das zeigt er ja direkt in seiner Skizze:

Der Punkt zwei in seiner Skizze soll (gegenüber der gestrichelt eingezeichneten Ausgangsposition) um die kleine Strecke der Länge epsilon nach links und zusätzlich um diese Strecke epsilon nach unten verschoben sein.

Dementsprechend sind die Stäbe in der Zeichnung ein bisschen gestaucht bzw. gedehnt.

------

Wenn du rechnen möchtest, unter welcher Spannung so ein Stab danach dann steht, dann kannst du da natürlich dann nicht die Formel in der Form

anwenden, denn mit dem Epsilon ist ja nun schon etwas anderes als die Längenänderung des jeweiligen Stabes bezeichnet, das epsilon in unserem Zusammenhang ist ja nun schon das aus der Skizze. Für die Längenänderung des jeweiligen Stabes, wenn du sie ausrechnen möchtest, wird man sich dementsprechend dann einen anderen Buchstaben suchen, um Verwechslungen zu vermeiden, zum Beispiel

für die Spannung im i-ten Stab aufgrund der relativen Längenänderung

in diesem Stab.

Das Elastizitätsmodul in dieser Gleichung ist das Elastizitätsmodul

des Stabes. Da habe ich erstmal nicht

geschrieben, denn vielleicht sind ja alle Stäbe aus dem gleichen Material, so dass man nicht anfangen muss, dafür nach i's zu unterscheiden.

---------

War das vielleicht bei Dir einfach nur dieses "Buchstaben-Problem" und hat sich das damit nun schon aufgelöst?

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Betrachte die Abweichungen zur Taylorapproximation, um zu sehen für welchen Größenbereich von Epsilon diese vertretbar ist.

Beim Elastizitätsmodul werden nur elastische Verformungen berücksichtigt, bleibende Verformungen spielen besonders bei stärkeren Biegen/Zusammendrücken eine entscheidende Rollel.

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Hallo,

nein, ich habe kein Buchstabenproblem. (hoffe ich :-) ) Ich möchte wissen, was "klein" ist. In %. Das konnte mir der Autor nciht sagen. Ich möchte wissen, wie ich den Bereich, in dem die Linearisierung Sinn macht und man sie durch a_k^Tu ersetzen kann, Sinn macht.

Danke.

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

So würde ich das auch auffassen.

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Ok. Es wird doch die Längenänderung des Stabes approximiert. Und was macht da denn Sinn? Wie spielt das Material da rein? Ein Gummiband dehnen ist doch was anders als Stahl. Verstehst du, was ich meine? Es muss da doch Materialgrenzen geben (?) ...

Danke.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Der Teil bezieht sich auf die Längenänderung der einzelnen Stäbe, ohne Berücksichtigung der nötigen Kraft. Die Stäbe sind an den Knoten so befestigt, dass sie sich nicht biegen. Dann spielt es keine Rolle, um welches Material es sich handelt, sondern es geht "nur" um geometrische Überlegungen. Wenn man die Verschiebung anwendet.
Entscheidend werden die Materialeigenschaften erst, um die Kraft zu bestimmen, die für eine Verformung nötig ist. Darum geht es auf S. 7/8 aber nicht.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ach so, du willst wissen, "wie klein" das kleine eplison sein soll/sein muss. Dann bin ich einverstanden mit dem, was chillosaurus auch schon erklärt. Ich würde das ganze so erzählen:

Der Autor macht nichts anderes, als zu zeigen, wie die Rechenmethode funktioniert, wenn man linear nähert. Und bei jeder linearen Näherung weiß man, dass sie in einer nahen Umgebung des Ausgangspunktes besser funktioniert als weiter weg. Zu sagen, wie groß diese Umgebung jeweils für deine speziellen Anwendungen und deine speziellen Anforderungen an Genauigkeit sein soll, ist nicht seine Aufgabe bei der Erklärung der Funktionsweise dieser Rechenmethode.

Jedes "kleine epsilon" ist klein genug, dass der Fehler, den man mit der linearen Näherung macht, klein genug bleibt im Vergleich zu dem Fehler, mit dem man leben kann.

Willst du für eine konkrete Anwendung wissen, wie groß der Fehler ist, den du mit einer linearen Näherung machst, dann könntest du dir die Mühe machen, zwei Rechnungen zu machen, eine mit der linearen Näherung und eine mit einer deutlich genaueren Methode, die dafür um so aufwändiger ist.

Das ist aber möglichweise in deinem jetzigen Lernstadium nicht Sinn der Sache, denn wenn man sich in die Methode mit der linearen Näherung einarbeitet, dann wären ja kompliziertere, genauere Berechnungsmethoden erst der nächste Schritt, der erst noch kommt, oder vielleicht ein Schritt, den man normalerweise gar nicht macht, weil man sich mit dem begnügt, was man mit der einfacheren und machbareren, linearen Berechnungsmethode herausbekommt.

Vielleicht ist es ja auch am Ende einfach eine praktikable Lösung, jeweils für ganz konkrete Anwendungen aus Erfahrungswerten und Vergleichen mit Messwerten zu wissen, wie locker man mit solchen Berechnungen in solchen Fällen innerhalb des jeweils erforderlichen Bereiches inclusive Sicherheitsspielraum oder Toleranzgrenzen ... bleibt. Das geht aber dann über das Erlernen der Methode an und für sich (wie rechnet man das in linearer Näherung) hinaus und geht wohl schon sehr speziell in ganz konkrete Fehlerabschätzungen oder Toleranzbereich-Erfahrungswerte für jeweils sehr konkrete Anwendungen hinein.

Nicht umsonst haben Architekten lange Zeit alle möglichen Bauwerke ziemlich "konservativ" konstruiert, um innerhalb der bereits gesammelten Erfahrungswertbereiche zu bleiben. Erst neuerdings mit entsprechender Computerkapazität, die es erlaubt, mit ganz anderen, viel komplizierteren Methoden auch ganz andere Geometrien mit guter Genauigkeit zu berechnen, kann man sich entsprechend weiter von bisherigen Erfahrungswertbereichen entfernen.

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Danke für deine Ausführungen. Leider stecke ich immer irgendwie noch fest. Ich versuche mal meine Gedanken mitzuteilen...

1. Seite 12 wird ein Zusammenhang F=Ku präsentiert. Dabei ist F die Externe Kraft die am Stabwerb wirkt, K die Steifigkeitsmatrix des Stabwerks und u der Verschiebungsvektor der Stäbe. Diese Formel habe ich in einem anderen Artikel in Zusammenhang mit Stabwerken gefunden. Ich wollte wissen, woher sie kommt -> dieses pdf gefunden.

2. Wie ich die Herleitung verstehe, resultiert Ku=F daraus, dass man für kleine (---was ist klein --- ) Verschiebungen

a) Die Stabverlängerung

linear mit Taylor approximiert

b) die Taylornäherung alternativ durch

ausdrückt

Es stellt sich mir also die Frage, was ist "eine kleine Verschiebung" (Annahme), so dass ich die Formel Ku=F verwenden darf. Einfach der Fehler, mit dem ich meine Leben zu können? Stellen sich dem, neben der Vereinfachung der Längenänderung denn nicht noch andere "praktische" Schranken?

Das Endproblem:
Ich möchte das Gewicht/Volumen eines Stabwerks minimieren. Gegeben ist ein externe Kraft F. Bestimmen muss ich die Durchmesser des Stabwerks sowie die Verschiebungen. Nun, je dünner ich die Stäbe bauen werde, umso mehr werden sie sich verschieben. Diese Verschiebung muss ich doch aus mehreren Gründen irgendwie limitieren.

1. Mit der Verschiebung geht doch eine Längenänderung einher. Nun werde ich doch einen Stab nicht beliebig verformen können, ohne ihn kaputt zu machen. Wie finde ich da, je nach Material (Muss man nachschlagen können. Kann keine Versuche machen) eine sinnvolle Begrenzung.

2. Mathematisch brauche ich eine Grenze, weil das Problem sonst nicht gut gestellt ist und ich mich eben von oben beliebig nach der "Nullösung" nähern werde und die Verschiebung geht betragsmäßig beliebig nach oben.

3. In dem PDF S.9 und anderen Werken wird immer von Compliance

gesprochen. Diese soll in meinem Modell beschränkt werden.

a) Jedoch was ist eine sinnvolle Schranke?

b) Die Beschränkung der Compliance wirkt sich dann ja auf u aus, was wieder die Eingangsfrage aufwirft, was ist eine sinnvolle maximal zulässige Verschiebung in so einem Stabwerk.

Ich hoffe, ich konnte mich irgendwie verständlich machen? grübelnd

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

In diesem Detail bin ich nicht so ganz zu Hause, aber gibts da nicht vielleicht vielleicht sogar Tabellen für einzuhaltende Toleranzen für bestimmte Anwendungsbereiche, die dafür gedacht sind, dass die Berechnungsmethode die lineare Näherung verwendet?

Oder du nimmst einfach mal an, dass die lineare Näherung gut genug ist, und rechnest das alles damit mal.

Die damit erhaltenen Ergebnisse könntest du ja am Ende mit Tabellenwerten für erlaubte Verformungsgrenzen oder Bruch-Grenzen abgleichen. (Solche Tabellenwerte würde ich nicht zuallererst in Physikbüchern suchen, ich würde vermuten, an den passenden Büchern oder Bibliotheken oder Datenbanken dürftest du also näher dran sein als zum Beispiel ich.)

Denn dass es deine Aufgabe ist, das am Ende statt mit linearen Methoden mit komplizierteren Methoden wie zum Beispiel numerischen Finite-Elemente-Rechnungen zu behandeln, würde ich nach dem bisher von dir gesagten noch nicht annehmen.

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Ich rechne mit Ku=F. Imho also mit der linearen Näherung. In einer Nebenbedingung beschränke ich die Compliance. Also u, da F gegeben ist. Frage: Was ist sinnvolle Schranke.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Na, gibts da nicht einfach Tabellen für maximale Kraft pro Querschnittsfläche (also die maximale Spannung), die auf einen Stab eines jeweiligen Materials wirken darf?

Vielleicht sogar gleich samt Toleranzbereich, den man in solchen Rechnungen laut aktuell gültigen Vorschriften (DIN-Norm? eine EU-Norm ? ...) sicherheitshalber zusätzlich mit veranschlagen muss?

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Weil ich das nicht weiß, bin ich in einem Physikerboard. :-) Ich kann das mir gestellte Mathematische Problem lösen. Ich möchte nun aber gerne verstehen, wie es überhaupt zu diesem Modell gekommen ist. Daher die Frage, wie so eine Materialgröße heißt, die man da nachschlagen muss. Hat das was mit Streckgrenze zu tun? (wikilink im vorherigen post).

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, so etwas fragt man am besten Architekten, Maschinenbauer oder ähnliche Studiengänge, die lernen so etwas glaube ich in einem Fach ihres Studiums a la Technische Mechanik.

Nach der Beschreibung in Wikipedia würde ich auf jeden Fall denken, dass die Streckgrenze schonmal nicht überschritten werden darf, denn ich würde vermuten, eine irreversible Verformung möchtest du wohl nicht unbedingt einplanen.

Ob und bei welchen Anwendungen und mit welchen Sicherheitsbereichen man sich eventuell zu anderen Grenzen wie Zugfestigkeit vortasten darf, und wie das bei Belastungen durch Zusammendrücken ist, könnte in Bestimmungen und/oder Normen für den konkreten Anwendungszweck stehen, für den das Fachwerk sein soll. (Je nachdem, wie die Stäbe gelagert und aneinander befestigt sind, bekommt man vielleicht auch Querkräfte, für die man ebenfalls unter Grenzwerten bleiben müsste. Damit wären die Grenzen also vielleicht auch niedriger als die Streckgrenze.) Oder es könnte vielleicht ein Architekt so etwas leicht nachschlagen können oder auswendig wissen.

(Sobald so etwas dann allerdings wirklich gebaut werden können soll, werden gerade Architekten besonders vorsichtig sein, da online irgendwelche Teil-Fern-Hilfen zu geben, denn sie wollten ja dann sicher vermeiden, dass irgendeiner damit auf die Idee kommt, so was zu bauen, bevor alles nötige berücksichtigt ist, was dann über den Köpfen von Leuten zusammenkrachen könnte ...)

tigerbine · Anmeldungsdatum: 04.05.2007 Beiträge: 11

Ok. Dann könnte man die Streckgrenze mal als "Idee" für eine Obergrenze festhalten um sich Größenordnungsmäßig zu orientieren. Am Ende wird man die Grenzen ws noch viel enger stecken müssen, wenn man den Kran o.Ä. tatsächlich bauen will.

Danke dir für das nette Gespräch und auch ein Dankeschön an Chillosaurus. Wink

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

der hooksche Bereich gilt für den elastischen Bereich. Die grenze des elastischen Bereichs ist die Streckgrenze, wobei aber die Streckgrenze meistens dem Wert von Rp0.2 in Tabellenbüchern entspricht. Das ist aber bereits die Spannung bei der eine 0.2 % Dehnung plastisch vorliegt und somit bereits die Streckgrenze übersprungen ist. Man führt hier einen Sicherheitsfaktor ein.

Alles was man berechnet ist sowieso nur näherungsweise und hilft einem in einen Bereich zu liegen der Sicher ist ohne jetzt übermäßig überzudimensionieren.
Es ist eine gute Lage zwischen Sicherheit und Materialverschwendung,Kosten.

Das beste Formel 1 wär das das genau nach der Zielfahrt auseinander bricht.

Sowas wirsd du aber mit keiner Theorie Computersimulation berechnen können.

So beziehen sich zum Beispiel die Spannungswerte in den Tabellenbüchern immer auf den Ausgangsquerschnitt obwohl die tatsächlichen Spannungen größer sind weil man dabei verschweigt das bei jeder dehnung der Durchmesser kleiner wird.

Man rechnet also überall nur überschlagsmässig. Auf die Frage wie genau du das brauchst , hat dir Markus schon geantwortet das man spezifischer Theoriemodelle braucht und selbst die liefern nur überschlagsmäßige Ergebnisse ab.