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Steve08
Anmeldungsdatum: 27.03.2008
Beiträge: 40
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 Steve08 Verfasst am: 27. Okt 2009 14:17 Titel: Dynamik Aufgabe - Kinematik eines Massepunktes |
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Hallo Gemeinde,
ich habe folgende Augabe und verstehe da die Lösung nicht:
Bilder wurden leider gelöscht
Zu 1.
Ich verstehe zwar das hier dy nach dt abgeleitet wurde, aber woher kommt das dx/dt und im Ergebnis plötzlich das va?
Zu 2. Hier weiß ich leider nicht wie man auf diesen ganzen Therm kommt, vielleicht weiß es einer von euch und kann es mir erklären.
Vielen Dank
Zuletzt bearbeitet von Steve08 am 28. Okt 2009 15:38, insgesamt einmal bearbeitet |
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jenase
Gast
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| jenase Verfasst am: 27. Okt 2009 15:45 Titel: |
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hallo,
dx/dt ist va. und dx/dt kommt aus der kettenregel.
die beschleunigung bekommt man, wenn man y 2mal ableitet. hab ich jetzt nicht nachgerechnet.
mfg jeanse |
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Steve08
Anmeldungsdatum: 27.03.2008
Beiträge: 40
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| Steve08 Verfasst am: 27. Okt 2009 16:03 Titel: |
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Ich versteh es trotzdem noch nicht. Ich weis das va = dx/dt ist, aber wie geht das mit der Kettenregel hier genau?
^2+x^2}+hd-l )
^2+x^2})^{-\frac{1}{2}}*2x)
Das ist die Lösung in den eckigen Klammern, aber das dx/dt dahinter verteh ich noch nicht.
Und bei 2. ist vorbei :-) |
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Gajeryis
Anmeldungsdatum: 08.10.2009
Beiträge: 194
Wohnort: CH - Bern
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| Gajeryis Verfasst am: 27. Okt 2009 16:53 Titel: |
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Kettenregel:
Du weisst bei einer Funktion f(x) nicht, wie x(t) aussieht. Wenn du nun aber f(x) nach t ableiten willst musst du folgendes machen:
 = \frac{dx}{dx}\cdot \frac{d}{dt} f(x) = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{d}{dx} f(x) = \dot{x} \cdot f'(x)) |
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Steve08
Anmeldungsdatum: 27.03.2008
Beiträge: 40
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| Steve08 Verfasst am: 27. Okt 2009 17:15 Titel: |
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woher kommt denn diese Regel, soll das die typische Kettenregel sein? |
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Gajeryis
Anmeldungsdatum: 08.10.2009
Beiträge: 194
Wohnort: CH - Bern
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| Gajeryis Verfasst am: 27. Okt 2009 17:49 Titel: |
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"Kettenregel" ist nicht nur eine bestimmte Operation, sondern eine Gruppe von Operationen, welche mit Ableitungen von verknüpften Funktionen zu tun hat. Des auch als Kettenregel bekannt ist die Produkteregel:
(fg)' = f'g + fg'
(f/g)' = ( f'g - fg' ) / gg |
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Steve08
Anmeldungsdatum: 27.03.2008
Beiträge: 40
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| Steve08 Verfasst am: 27. Okt 2009 18:12 Titel: |
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ok ich danke dir, aber leider hilft mir das nicht weiter, ich kenne den mathematischen hintergrund dazu nicht u8nd finde auch in keinem Mathebuch dazu etwas... trotzdem danke |
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Gajeryis
Anmeldungsdatum: 08.10.2009
Beiträge: 194
Wohnort: CH - Bern
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| Gajeryis Verfasst am: 27. Okt 2009 18:40 Titel: |
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| Zitat: | Zu 1.
Ich verstehe zwar das hier dy nach dt abgeleitet wurde, aber woher kommt das dx/dt und im Ergebnis plötzlich das va? |
wird nach t abgeleitet. y(t) und x(t) sind aber noch unbekannt, deshalb kommt die Kettenregel zum Zug.
Linke Seite:
Rechte Seite:
 = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{h_{D}^{2} + x^{2} } + h_{D} - l) = \frac{dx}{dt} \cdot [ \frac{d}{dx}( \sqrt{h_{D}^{2} + x^{2} } ) + 0 + 0 ])
um die Wurzel nachvollziehbar abzuleiten, substituiere ich den Wurzelinhalt mit u
 = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d}{du}( u^{\frac{1}{2}} ) = \frac{du}{dx} \cdot ( \frac{1}{2} \cdot u^{-\frac{1}{2}} ))
 = 2x)
zurück zur rechten Seite:
 = \frac{dx}{dt} \cdot 2x \cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{h_{D}^{2} + x^{2}} })
y ist die Auslenkung des Gewichts am Seil nach oben, in y-Richtung. Weg pro Zeit ist Geschwindigkeit, dy/dt ist demnach die Geschwindigkeit des Gewichtes bzw. des Seiles v_S.
Der Mensch bewegt sich am Boden, entlang der x-Richtung. dx/dt ist demzufolge die Geschwindigkeit des Arbeiters v_A.
Dadurch ergibt sich aufgelöst:
Frage zwei erkläre ich dir nach meinem Abendessen. Bis bald. ;-) |
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Steve08
Anmeldungsdatum: 27.03.2008
Beiträge: 40
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| Steve08 Verfasst am: 27. Okt 2009 19:47 Titel: |
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super danke, dass du dir solche mühe machst, bin schon auf 2. gespannt... |
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Gajeryis
Anmeldungsdatum: 08.10.2009
Beiträge: 194
Wohnort: CH - Bern
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| Gajeryis Verfasst am: 27. Okt 2009 19:50 Titel: |
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Und weiter geht's:
Die erhaltene Gleichung wird nochmal nach t abgeleitet. Nun haben wir aber eine Funktion, welche sich aus dem Produkt mehrerer einzeln ableitbarer Teile zusammenstellt:
Für die Ableitung dieses Ganzen nach der Zeit brauchen wir nun die Produkteregel:
 \dot{\,} = \dot{f} \cdot g \cdot h + f \cdot \dot{g} \cdot h + f \cdot g \cdot \dot{h})
Schauen wir uns die einzelnen Summanden an:
 = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\sqrt{h_D^{2} + x^{2}}} \right) = \frac{dx}{dt}\cdot\frac{du}{dx}\cdot \frac{d}{du} ( u^{-\frac{1}{2}} ) = \frac{dx}{dt} \cdot 2x \cdot \left( -\frac{1}{2} \cdot u^{-\frac{3}{2}} \right) = \frac{-x \cdot \frac{dx}{dt}}{(h_{D}^{2} + x^{2} ) ^{\frac{3}{2}}})
 ^{\frac{3}{2}}} \cdot x \cdot v_{A})
wobei 
 = \frac{dx}{dt} \cdot 1 = \frac{dx}{dt})
 \cdot \frac{dx}{dt} \cdot v_{A})
wobei wieder
)
 \cdot x \cdot \frac{dv_{A}}{dt})
wobei  , da v_A konstant.
Der letzte Term fliesst somit nicht ins Endergebnis ein, welches sich wie folgt ergibt:
 ^{\frac{3}{2}} } + \frac{ v_{A}^{2} }{ ( h_{D}^{2} + x^{2} ) ^{\frac{1}{2}} } = \frac{ - x^{2} \cdot v_{A}^{2} }{ ( h_{D}^{2} + x^{2} ) ^{\frac{3}{2}} } + \frac{ v_{A}^{2} \cdot ( h_{D}^{2} + x^{2} ) }{ ( h_{D}^{2} + x^{2} ) ^{\frac{3}{2}} } = \frac{ - x^{2}\cdot v_{A}^{2} + h_{D}^{2}\cdot v_{A}^{2} + x^{2} \cdot v_{A}^{2}}{ ( h_{D}^{2} + x^{2} ) ^{\frac{3}{2}} } = \frac{ h_{D}^{2} \cdot v_{A}^{2}}{ ( h_{D}^{2} + x^{2} ) ^{\frac{3}{2}} })
Hoffe, die Zwischenschritte haben dir nun zum Verständnis beigetragen.
Ich hoffe auch, du hast auch gesehen, dass die Kettenregel für Ableitungen immer wieder gebraucht wird, sei es für die Produkteregel, die Substitution oder weil eine Funktion nach der abzuleitenden Variablen nicht festgelegt ist.
Hast du noch Fragen?
Zuletzt bearbeitet von Gajeryis am 27. Okt 2009 20:13, insgesamt einmal bearbeitet |
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Steve08
Anmeldungsdatum: 27.03.2008
Beiträge: 40
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| Steve08 Verfasst am: 27. Okt 2009 20:06 Titel: |
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Also ich bedanke mich erstmal recht herzlich für deine Mühe und werde es mir nun zu Gemüte führen und es versuchen nachzuvollziehen, ich melde mich wieder wie es gelaufen ist...
Vielen Dank nochmal... |
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Steve08
Anmeldungsdatum: 27.03.2008
Beiträge: 40
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| Steve08 Verfasst am: 28. Okt 2009 15:39 Titel: |
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Danke dir Gajeryis,
es ist mir nun soweit klar, ich bedanke mich bei dir, wenn ich wieder was habe, komm ich wieder und poste hier, vielleicht kannst du dann wieder helfen...
Danke
Gruß STeve |
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