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Mulder
Anmeldungsdatum: 01.11.2007
Beiträge: 80
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 Mulder Verfasst am: 08. Jun 2009 18:21 Titel: Konservative Kraftfelder |
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Hallo,
ich habe hier diese Aufgabe:
Gegeben sei das Vektorfeld  = \begin{pmatrix} y \\ \frac{x^2}{b} \\ x+z \end{pmatrix} ) .
Und gegeben sind noch die beiden Punkte  und  .
Berechnet werden soll nun die Arbeit bei Verschiebung zwischen diesen beiden Punkten, und zwar einmal auf direktem Wege entlang der z-Achse, und einem entlang einer Schraubenlinie, die parametrisiert wird durch:
 = \begin{pmatrix} b \cos \varphi \\ b \sin \varphi \\ \frac{b \varphi}{\pi} \end{pmatrix} ) mit 
Okay, das Integral kann ich dann ja einfach in die drei Komponenten x,y,z zerlegen (jeweils in den Grenzen von 1 bis 2 pi). Wenn ich nun die komponeneten von r ableite, ergibt sich:
Wenn ich das nun einsetze (also in F), erhalte ich für das Wegintegral doch:
Arbeit = 
Oder, wenn ich das nun zusammenfasse:
Arbeit = 
Das ist aber ja irgendwie nicht so schön (wäre zwar kein Problem, gibt ja CAS, aber ich frage dennoch mal nach). Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht, oder muss ich jetzt hiermit weiter rechnen? Und wie mache ich das entlang der z-Achse? Muss ich den Weg auch parametrisieren und kann ich das dann genauso machen wie bei dieser blöden Schraubenlinie? Wenn ja, wie parametrisiere ich diese Kurve denn? Einfach mit C=(0, 0, t), also quasi als so eine Art Einheitsvektor? Oder muss ich anders vorgehen?
Wäre für ein wenig Hilfestellung dankbar.  |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 08. Jun 2009 20:54 Titel: |
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Wenn bei 2 nur die senkrechte Strecke A -> B gemeint: W = int[0, 2b] (x + z) dz.
mfG F |
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Mulder
Anmeldungsdatum: 01.11.2007
Beiträge: 80
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| Mulder Verfasst am: 09. Jun 2009 11:58 Titel: |
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Hmm... okay. Noch eine Frage zum zweiten Aufgabenteil:
 = f(r) \vec r \in \mathbb R ^3)
Ich soll nun zeigen, dass diese Kraft konservativ ist. Prinzipiell gibt es ja mehrere Möglickeiten, sowas zu prüfen, bzw. nachzuweisen. Aber hier weiß ich ja irgendwie so gar nichts über das  . Wie behandle ich das denn? Kann mir da jemand helfen, wie ich eigentlich vorgehen muss?
Und dann soll ich noch die Kraft  = f(\vec r) \vec r \in \mathbb R ^3) untersuchen, ob die auch konservativ ist. Inwoefern unterscheidet das sich denn von der anderen Kraft? Ich weiß doch überhaupt nichts, woher weiß ich denn, was f mit einem Skalar, und was f mit einem Vektor macht? Es steht sonst nichts dabei. f muss ja eigentlich sowohl aus einem Vektor, als auch aus einem Skalar wieder ein Skalar machen, beide Felder sind ja aus dem R^3, und ein Produkt aus zwei Vektoren wäre ja nie aus dem R^3. Ich stehe hier echt etwas auf dem Schlauch... |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 09. Jun 2009 12:09 Titel: |
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rot F = 0 |
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Mulder
Anmeldungsdatum: 01.11.2007
Beiträge: 80
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| Mulder Verfasst am: 09. Jun 2009 14:00 Titel: |
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Ja... ist geläufig. Meine Frage war, ob ich das hier anwenden, bzw umsetzen kann. Wie soll ich das denn gestalten? Da weiß ich im Moment leider nicht weiter.
 = \nabla \times f(r) \vec r = 0)
Das ist die Ausgangslage (also zu zeigen). Und nun? Dieses ) kann ich ja eigentlich als Skalar auch aus dem Kreuzprodukt rausziehen, oder? Dann stellt sich mir die Frage, inwiefern das hier überhaupt eine Relevanz hat. Habe ich einen Denkfehler? Und immer noch die Frage, was man mit dem zu tun ist. Soll ich mir das allgemein gestalten in der Form:
Oder was ist zu tun? 
Edit: Rausziehen geht wohl nicht. Hilft hier die Produktregel? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 09. Jun 2009 20:01 Titel: |
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Richtig, man kann zum Beispiel die Produktregel verwenden.
Wenn das für dich besser nachvollziehbar ist, kannst du es natürlich auch erst einmal in Komponenten rechnen. Wenn du es karthesisch machen wölltest, sähe das ja so aus:
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Mulder
Anmeldungsdatum: 01.11.2007
Beiträge: 80
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| Mulder Verfasst am: 09. Jun 2009 20:19 Titel: |
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| para hat Folgendes geschrieben: | | Richtig, man kann zum Beispiel die Produktregel verwenden. |
Ja, das habe ich versucht. Aber irgendwie komme ich damit immer noch nicht so ganz weiter. Es ergab sich dabei:
 \vec r = f \left ( \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} \right ) + \left ( \begin{pmatrix} \partial_x f \\ \partial_y f \\ \partial_z f \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_y \end{pmatrix} \right ))
Wenn die beiden aus den Kreuzprodukten resultierenden Vektoren addiere, wüsste ich nicht, warum da 0 rauskommen sollte. Fehlt mir da jetzt irgendeine Information?
Edit: Also, das ergab bei mir schlussendlich:
 r_z - (\partial_z f)r_y \\ f \partial_z r_x - f \partial_x r_z + (\partial_z f)r_x - (\partial_x f)r_z \\ f \partial_x r_y - f \partial_y r_x + (\partial_x f)r_y - (\partial_y f) r_x \end{pmatrix} )
Und jetzt? |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 09. Jun 2009 20:35 Titel: |
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Der vordere Teil ist schon einmal Null. Wichtig: Nabla leitet hier nach den Komponenten des Ortsvektors ab, also entweder nutzt du oder Mischt man beide Schreibweisen, verliert man die Übersicht.
Für den hinteren Teil ist es wichtig, den Gradienten von f zu berechnen. Dort muss natürlich noch einfließen, dass f eine Funktion von (Betrag von) r ist. Dann kann man die Kettenregel anwenden.
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Mulder
Anmeldungsdatum: 01.11.2007
Beiträge: 80
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| Mulder Verfasst am: 09. Jun 2009 20:57 Titel: |
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| para hat Folgendes geschrieben: | | Dort muss natürlich noch einfließen, dass f eine Funktion von (Betrag von) r ist. Dann kann man die Kettenregel anwenden. |
Aaaah, ich glaube, jetzt habe ich das kapiert. Also, bei einer Funktion, die von r abhängt, weiß ich ja, dass in der Ableitung auf jeden Fall die "innere Ableitung" dieses Wurzelterms vorkommt, oder? Kann ich das dann so machen (mal für die erste Komponente des Kreuzproduktes):
r_z - (\partial_z f)r_y)
Wenn ich nun f nach y ableite, ergibt das:
r_z - (\partial_z f)r_y &=& f' \frac{2r_y}{\sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z ^2}} r_z - f' \frac{2r_z}{\sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z ^2}} r_y \\[10pt] &=& \frac{2f'}{\sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z ^2}} (r_y r_z - r_z r_y) \\[10pt] &=& 0)
Okay so? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 09. Jun 2009 21:10 Titel: |
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Das Ergebnis stimmt (wie gewünscht). Nur die Zweien sollten eigentlich nicht da sein.
Schaut man sich einmal nur den Gradiententerm an, sieht man dass:Daran sieht man direkt dass dann das Kreuzprodukt mit dem (parallelen) Ortsvektor Null ergibt.
Aber wie gesagt: in Komponenten ist natürlich auch völlig okay.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 10. Jun 2009 04:21 Titel: |
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Also haben diese Zentralkraftfelder ein (zentralsymmetrisches) Potential?
mfG F |
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