Warum bietet die Mathematik mehrere Lösungswege?

MrPSI · Gast

Hallo.

Vorab: die Fragestellung ist z.T. auch mathematisch. Deshalb weiß ich nicht, ob es besser hierher oder ins Matheboard passt.

Es quält mich in letzter Zeit die Frage, warum man - unter Zuhilfenahme der Mathematik - auf mehreren Wegen zur selben Aussage kommen kann.
Warum funktioniert das?

Ein Beispiel:
Im Thread Geschwindigkeit mit orthogonaler Beschleunigung hat mir navajo einen Beweis gezeigt, dass der Betrag des Geschwindigkeitsvektors nicht zunimmt.

Mal abgesehen davon, dass es mir ohnehin merkwüridg erscheint, dass ein Skalarprodukt vorkommt und man dadurch Aussagen über Richtung der Beschleunigung und Änderung des Geschwindigkeitsbetrages machen kann - und dies sogar noch mit der Realität übereinstimmt - , gibt es noch einen anderen Beweis um zu zeigen, dass eben dieser Betrag nicht zunehmen kann.
Es sei

der Tangenteneinheitsvektor an die Bahnkurve eines Teilchens und

der Betrag der Geschwindigkeit

.
Dann ist

Das heißt also, eine Änderung des Geschwindigkeitsbetrages resultiert in eine Tangentialkomponente der Beschleunigung. Und der Umkehrschluss lautet: gibt es diese Komponente nicht (=> Beschleunigung steht normal auf Geschwindigkeit) so gibt es auch keine Betragsänderung.

Doch warum kann man auf zwei verschiedene Arten zum selben Ergebnis kommen und warum stimmen diese mathematischen Resultate mit der Realität überein?

Mfg,
MrPSI

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

na sooo verschieden sind die beiden Ansätze nun auch wieder nicht...

Aber das Gefühl kann ich nachvollziehen; ich frage mich manchmal auch, warum die Natur durch Mathematik überhaupt beschreibbar ist. Insbesondere in der Quantenmechanik tu ich mir schwer, den Bezug zur Realität zu akzeptieren. Ich denke so eine gewisse Skepsis ist normal und auch ganz gesund Prost

In diesem Fall sehe ich persönlich kein Problem, die Identität der beiden Herleitungen zu begreifen. Ich muss allerdings zugeben, dass ich bei einigen anderen Herleitungen in Physik und Technik keinen Zusammenhang zwischen verschiedenen Herleitungsmethoden erkennen konnte und mir der tiefere Hintergrund ebenso nebulos erschien, wie dir das obige Beispiel. Meistens ist dies der Fall, wenn die verwendete Mathematik an die Grenze meines persönlichen Wissens geht. Und das ist leider nicht sehr tief...

Für eine ernsthafte Antwort musst du dir aber wahrscheinlich ein Philosophieforum suchen.

MrPSI · Gast

Danke für deinen Beitrag, da wird mir das Herz schon ein bisschen leichter. smile

Es ist gut zu wissen, dass man nicht der einzige ist, der sich manchmal fragt, warum man sich so stark auf die Mathematik verlassen kann. Es wird die ganze Zeit in der Physik angewendet, aber niemand hält es für wichtig, dazu auch mal einen kleinen Kommentar abzugeben.

Und ich hab bisher gedacht, ich sei der einzige, der versucht Herleitungs- und Beweismethoden zu vergleichen Prost

das hat bei mir schon in der Unterstufe begonnen und hat meine Lebenserwartung drastisch gekürzt und schon einige graue Haare beschert. Obwohl es mir soviel Ärger bereitet, lässt mich Mathe einfach nicht los.

Wo ist denn der Zusammenhang zwischen den beiden Herleitungen? Wenn es dir so klar ist, dann erklärs mir bitte. smile

Was die Philosophie anbelangt, da hab ich eh vor, wenn ich mal mehr Luft habe, einen Philosophiebachelor einzuschieben. Eine Philosophiestudentin, die jetzt nebenbei Physik macht, hat mir das angeraten, weil es eine angenehme Abwechslung zur Mathematik/Physik sei. Die Mathematik/Physik zeigt, wo die Grenzen des Geistes liegen und in der Philosophie kann man die Gedanken schweifen lassen Big Laugh

Ich werd dann mal auch die Kollegen vom Matheboard mit meinen Fragen belästigen.

Nochmals Danke und liebe Grüße,
MrPSI

michifold · Anmeldungsdatum: 21.10.2006 Beiträge: 34

Ich finde die Frage, wieso die Mathematik so gut in der Welt funktioniert auch sehr wichtig. Ein sehr interessanter Artikel über dieses Thema ist der hier: http://arxiv.org/abs/gr-qc/9704009v2

MrPSI · Gast

Danke sehr für den Artikel smile

. Ich werde ihn mir bei Zeiten mal zu Gemüte führen.

Herbststurm · Anmeldungsdatum: 05.09.2008 Beiträge: 412 Wohnort: Freiburg i. Brsg.

In deiner Frage geht es doch gar nicht um das was im Titel steht.

Worum geht es denn bei einer physikalischen und theoretischen Argumentation? Um Wohldefiniertheit! Um nichts anders!

Wohldefiniert heisst erstmal in sich stimmig, widerspruchsfrei, Klärung der Existenz von Lösungen und ob diese Eindeutigkeit.

Wie die konkrete Mathematik dann aussieht ist doch vollkommen unwichtig, sofern sie widerspruchsfrei ist. Gibt es doch Widersprüche untersucht man diese und kann so entweder das Konstrukt der Mathematik/Physik erweitern, oder man muss sich was anderes überlegen. (Berühmte Beispiele: Distributionen in Mathe, oder Einstein in Physik)

Man darf nicht als erstes an wilde Rechnungen denken wenn man sich überlegt was Mathematik ist. Das kommt erst ganz zum Schluss. Wenn mich jemand fragen würde was Mathematik sei, dann gäbe es darauf aus meiner Sicht nur eine einzige Antwort:

Die Logik und Weisheit haben sich ein Haus gebaut.

Logik in Form von Lemmata, Sätze und Beweise, Weisheit in Form von zugrunde liegenden wohldurchdachten Definitionen und Axiomen. (Angefangen bei Peano aufwärts...)

Das dort viele Wege nach Rom führen ist doch selbstverständlich. Wenn du dir mal alleine nur in der Mengentheorie ansiehst was man da alles an Äquivalenzumformungen treiben kann und dann ansieht wie groß Mathematikers Haus mittlerweile ist, dann finde ich es weniger verwunderlich, dass man mit verschiedenen Mitteln als Ziel kommt.

Desweiteren ist es oftmals so, dass diese "ach so verschiedenen" Wege gar nicht so verschieden sind. Beispiel Herleitung der Lagrange Funktion, oder Noethersches Theorem. Da füren auch scheinbar mehrere Wege ans Ziel, aber so unterschiedlich sind die letzlich gar nicht.

Ob du nun die Lagrange Gleichungen der Mechanik über Gauß-Prinzip, Hamilton oder D'Almbert bekommst ist von der Mathematik gar nicht so unverwand...

Gruß

Iridium · Anmeldungsdatum: 26.12.2008 Beiträge: 10

Ich finde es gar nicht so erstaunlich, daß Mathematik die Welt beschreibt.

Bei den "trivialen" Dingen (z.B. dem Vorgang des Zählens -> Natürliche Zahlen) wundert sich auch niemand, daß es eine Korrespondenz zwischen dem realen Ding und der abstrakten Beschreibung gibt. Die höhere Mathematik ergibt sich eigentlich nur aus einer ziemlich langen Kette ebenso trivialer Feststellungen. Kompliziert erscheint sie nur deshalb, weil die Grundkenntnisse auf denen ein Beweis dann aufbaut soooo vielfältig sind und der Realitätsbezug weniger offensichtlich. So stell ich mir das zumindest vor :-). Was die äquivalenten Beschreibungen ein und derselben Sache betrifft: Ich find das immer sehr lehrreich, wenn man ein Problem mit unterschiedlichen Methoden anpacken kann, die zwar alle zur selben Lösung führen, sich aber in ihrer Eleganz und Mächtigkeit/Verallgemeinerbarkeit unterscheiden können. Man kann dadurch nur mehr über das Problem lernen, wenn man alles, was man hat und kann zu seiner Lösung verwendet.

Xeal · Anmeldungsdatum: 29.05.2007 Beiträge: 243

Ich habe mir darüber auch schon Gedanken gemacht, und bin der Ansicht, dass Mathematik ein Hilfsmittel ist, welches der Mensch aufgrund seines beschränkte Verstandes benötigt. Zu Grunde werden mehr oder weniger Erfahrungstatsachen gelegt, mit denen man dann die (zu) Komplexe Wirklichkeit beschreiben kann..

Herbststurm · Anmeldungsdatum: 05.09.2008 Beiträge: 412 Wohnort: Freiburg i. Brsg.

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw