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Herbststurm
Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.
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 Herbststurm Verfasst am: 25. Jan 2009 20:57 Titel: SRT - Vierervektor - Längenquadrat Lorentz-invariant - Quate |
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Hallo,
ich möchte es auch hier besprochen haben:
Das Längenquadrat eines Vierervektors im Minikowski Raum soll ja Lorentz-invariant sein, daher auch die Einführung der Ko- und Kontravarianten Notation. Wenn man also einen Vierervektor hat im Sinne von:
 dann ist bekanntlich:
^{2} - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}))
Mir ist bewusst geworden, dass der Minikowski Raum den ich in der SRT kennen lernte mathematisch ein nichtkommutierender Divisionsring ist, also einfach gesagt ein Schiefkörper und zwar nicht irgendein Schiefkörper, sondern der Schiefkörper der Hamilton'schen Quaternionen. Darauf habe ich einen kleinen Beweis geführt und die Aussage ist eindeutig korrekt.
Der Minikowski Raum ist nichts anderes als ein Spezialfall der Menge der Hamilton Quaternionen 
Darauf hin habe ich etwas Quaternionen Algebra betrieben, Axiome geprüft und mich auch in diesem Sinne mit dem Quaternionenprodukt und der Norm von Quaternionen im Minikowski Raum beschäftigt und natürlich mit der Frage:
Na wenn dem so sei, dann muss das Längenquadrat der Quaternionen Lorentz-invariant sein. Ich habe den Beweis durchgeführt und kam am Ende darauf, dass ich Recht habe. Die Lorentz-invarianz ist erfüllt.
^{2} - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}))
Der Faulheit wegen poste ich die ganze Mathematik nicht, es sei denn es besteht interesse daran. Dann natürlich schon  Hier steht nichts was ich nicht auch mathemtaisch wohldefiniert beweisen kann
Was ich mich nun Frage ist:
Gibt es dazu konkrete Anwendungen? Werden Quaternionen im Kontext Relativitätstheorie genutzt? In allen Büchern die ich bis jetzt gesehen habe, wurde dazu kein Wort erwähnt. Mir ist das nur per Zufall aufgefallen.
Desweiteren ist auch klar, dass die Pauli-Matrizen zum beschreiben des Spin eines Elektron Elemente des Minikowski Raumes sind oder umgekehrt man den Spin des Elektron über Minikowski Vektoren beschreiben kann. (Abgesehen von dem Vorfaktor, aber den kann man sich ja ein und ausbauen wie man es will, da Linearität des Quaternionen-Operators erfüllt ist) All das ist mathematisch okay, denn die Paulimatrizen sind ja Quaternionen und aus dem selben Körper
Das ist sehr heftig wenn man darüber nachdenkt. Gibt es dazu irgendwelche Anwendungen?
Leider weiss ich noch so wenig über den Spin. Keine Ahnung was mir das ganze physikalisch sagt (  ), aber ich werde meinen Prof auch noch damit stressen.
Ich werde mir jetzt die Kreiselgleichung im Minikowski Raum betrachten, denn das ist dann ja auch zwangsweise möglich, da sich ein homomorphismus von in die Eulerwinkel bilden lässt, welche die generalisierten Koordinaten in den Kreiselgleichungen sind, also Vierervektoren, oder Paulimatrizen, die zu Eulerwinkeln zugeordnet werden.
Ich bin für alle Tipps und Hinweise dankbar
Grüsse euch
Zuletzt bearbeitet von Herbststurm am 26. Jan 2009 06:16, insgesamt einmal bearbeitet |
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wishmoep
Anmeldungsdatum: 07.09.2008
Beiträge: 1342
Wohnort: Düren, NRW
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| wishmoep Verfasst am: 25. Jan 2009 22:24 Titel: |
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Ich fänd die "ganze Mathematik" schon interessant
Musst aber nicht alles in Foren-Matrix umwandeln, geht ja auch, falls du es schon als TeX hast als TeX-Datei oder DVI, PS, PDF, whatever
Ansonsten - war es nicht der Minkowski-Raum, nich mini? |
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Herbststurm
Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.
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| Herbststurm Verfasst am: 26. Jan 2009 00:32 Titel: |
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Hi,
grüsse dich
| wishmoep hat Folgendes geschrieben: | Ich fänd die "ganze Mathematik" schon interessant
Musst aber nicht alles in Foren-Matrix umwandeln, geht ja auch, falls du es schon als TeX hast als TeX-Datei oder DVI, PS, PDF, whatever
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Solche virtuellen Texte habe ich wenig. Vor ein paar Monaten hatte ich in Mathe ne Übung zu dem Thema und das wars. Habe mir dann erst ein, dann ein paar mehr Bücher dazu gekauft und mich mehr und mehr in die Quaternionen Algebra eingearbeitet. Daher liegt fast alles was ich dazu habe in echtem Papier vor mir und nicht auf der Festplatte.
Quaternionen sind genial. Sie sind als solches erstmal nur ein algebraisches Konstrukt. Das geniale an ihnen ist es eine oder beliebig viele Rotationen elegant darzustellen und das können sie.
Einen Vektor im 3d-Raum um eine beliebige Achse mit einem einem Winkel rotieren zu lassen ist mittels Quaternionen um Welten eleganter und besser gelöst als über eine Drehmatrix. Ich für meinen Teil habe auch bombenfest beschlossen, dass ich nie wieder mit Drehmatrizen arbeiten will. Die SO(3) soll mir den Buckel herab rutschen
Desweiteren kann man auch unglaublich elegant ganze Rotationssequenzen beschreiben mit viel weniger Rechnung.
Die Grundidee ist einfach, dass man versucht sogenannte hypercomplexe Zahlen zu definieren. Diese werden dann erstmal ganz wild defniert. Man fängt an Skalare und Vektoren zu addieren, zeigt aber dann, dass die direkten Abbildungen immer wohldefiniert sind, weil dann einfach die jeweiligen Komponenten die Probleme bereiten könnten immer zu Null gesetzt werden. Um das konkret zu erklären müsste man weiter ausholen. Mal sehen. Wenn interesse besteht schreibe ich evtl. ein how to über Quaternionen Rotationen. Der Wikipedia Artikel zu dem Thema ist eh großer Mist.
| wishmoep hat Folgendes geschrieben: | | war es nicht der Minkowski-Raum, nich mini? |
Ja, aber ich habe derzeit eh ne recht hohe Quote an Tippfehlern. 
Bis denne |
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