Fahrtzeit eines Zuges

cWaldi · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 29

Guten Tag allerseits,

Habe mit folgender Aufgabe ein Problem:

Ein Zug kann mit einer Beschleunigung von a1= 0,2m/s^-2 beschleunigen und mit a2= -1m/s^2 gebremst werden.

Man bestimme die Minimale Fahrtzeit t zwischen 2 Haltepunkten deren Entfernung d= 2,00 km beträgt.

Denke mir das so das er zunächst beschleunigt und dann iwann kurz vor dem Ziel ja wieder abbremsen muss. und habe mir daraus folgende Gleichungen gebastelt:

Drei Unbekannte, zwei Gleichungen...weit komme ich damit also leider nicht.

Könnt ihr mir da weiterhelfen?

wishmoep · Anmeldungsdatum: 07.09.2008 Beiträge: 1342 Wohnort: Düren, NRW

Ich sehe nur zwei Unbekannte. Was soll dein x in deinen Gleichungen sein? Wem entspricht es bzgl. der Aufgabenstellung?

cWaldi · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 29

Also die Unbekannten sind t1, t2 und x

x entspricht der entfernung vom ziel bei der der bremsvorgang eingeleitet wird.
Das ziel ist also 2km entfernt und x meter davor beginnt der zug zu bremsen.

Zumindest stell ich es mir so vor, kann auch sein das die Gleichungen kompletter schwachsinn sind.

wishmoep · Anmeldungsdatum: 07.09.2008 Beiträge: 1342 Wohnort: Düren, NRW

Kurze Frage - wie steht es bei dir um Differentialrechnung? (Thema: Welche Klasse?) Weil dann könntest du, da ja nach einem "Maximum" gefragt ist so voranschreiten, ansonsten bin ich gerade wohl blind.

cWaldi · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 29

Ich wüsste ehrlich gesagt nicht von welcher gleichung ich dann das minimum bestimmen sollte.

Die zwei von mir aufgstellten können es jedenfalls nicht sein.

wishmoep · Anmeldungsdatum: 07.09.2008 Beiträge: 1342 Wohnort: Düren, NRW

Über die Weg-Zeit-Gesetze kannst du die Zeiten t_1 und t_2 bestimmten (müsste eine Wurzel stehen). Du kannst dann entweder s_1 oder s_2 substituieren.

Du kannst dann

oder

bestimmen und davon das Minimum.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

Um dies zu lösen mußt du zuerst eine Gleichung für die Gesamtzeit ermitteln, mit möglichst einer Unbekannten.

Am besten eignet sich nach Überlegung dazu die Beschleunigungszeit des Zuges.
Durch die Beschleunigungszeit des Zuges ergibt sich automatisch, die Endgeschwindigkeit des Zuges (konstante Geschwindigkeit) und auch die benötigte Verzögerungszeit um den Zug wieder zu bremsen.
Durch Kenntnis der Verzögerungszeit und der Endgeschwindigkeit ergibt sich der Verzögerungsweg. Der Beschleunigungsweg ergibt sich direkt aus der Beschleunigungszeit. Durch Subtraktion des Beschleunigungsweges und des Verzögerungsweges von der Gesamtstrecke erhalten wir den WEG der konstanten Geschwindigkeit und durch Kenntnis der konstanten Endgeschwindigkeit des Zuges die dafür benötigte Zeit.

Wir sehen also alles hängt von der Beschleunigungszeit ab. Die Gesamtzeit läßt sich in direkter Abhängigkeit von ihr aufstellen.

Beschleunigungsweg des Zuges:

... Beschleunigung des Zuges

... Beschleunigungszeit des Zuges

Reisegeschwindigkeit des Zuges nach der Beschleunigung:

Der Reiseweg des Zuges bei konstanter Reisegeschwindigkeit:

... Zeit die der Zug mit konstanter Geschwindigkeit gereist ist.

Der Verzögerungsweg des Zuges (Bremsweg):

... Verzögerung des Zuges, positiv einzusetzen!!!!

... Verzögerungszeit .. Zeit bist der Zug stillsteht.

Die Gesamtzeit und der Gesamtweg des Zuges :

hieraus erhalten wir

in Abhängigkeit von

Wir setzen nun

in

ein und erhalten:

Nach umformen erhalten wir:

Diese Formel stellt

als Funktion von

dar

Wir tragen nun die Werte ein und ersetzen

durch x und

durch y:

Wenn man die Kurve betrachtet kommt Sie bei 0 aus dem unendlichen geht auf ein Minimalwert und steigt danach wieder ins unendliche an.
Bei Welchen x herrscht der Extremwert (hier Minimum).
differenzieren eure Aufgabe
MFG

cWaldi · Anmeldungsdatum: 24.10.2008 Beiträge: 29

Vielen Dank für die Arbeit, damit komme ich sicherlich schonmal weiter.

Aber eine Verständnissfrage habe ich dann doch noch:

Wieso soll der Zug eine gewisse Zeit mit konstanter Geschwindigkeit fahren? Ist er nicht eigentlich schneller wenn er durchgängig beschleunigt und dann aprupt beginnt zu bremsen? Kann es mir irgendwie nicht anders vorstellen.

wishmoep · Anmeldungsdatum: 07.09.2008 Beiträge: 1342 Wohnort: Düren, NRW

Bezieht man diese mit ein, müsste dieser Term bei einer Extremwertbestimmung wegfallen. Ich würde es auch ohne gleichförmige Bewegung machen.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

Da hast du schon recht. Du kommst auch viel einfacher auf das Ergebnis das du suchst. Das schnellste ist sicher sich zu fragen bei welcher Beschleunigungszeit ergibt sich eine Verzögerungszeit. bei der der zug gerade am ende der 2000 Meter zum stehen kommt.
also am schnellsten ist wenn der zug immer am beschleunigen und verzögern ist.

Diese Formel beinhaltet dagegen die abhängigkeit der Gesamtzeit zu den verschiedenen Beschleunigungszeiten und verliert genau ab den Fall ihre gültigkeit wenn SR < 0 wird. Zur Erinnerung SR= SGes-SB-SV. Wenn also Beschleunigungsweg und Verzögerungsweg über den vorgegebenen Weg (hier die 2000 Meter) anwachsen. dann verliert die Formel für die Gesamtzeit die Gültigkeit . wenn SR=0 also der Weg konstanten Geschwindigkeit=0 dann gilt diese Formel gerade noch. und das ist der Fall den du suchst.
Du kannsd also in der Formel den Extremwert suchen.
oder du gehst den einfacheren oben beschriebenen weg.
dabei helfen dir die angegebenen formeln genauso.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

also ich sag euch mal das Ergebnis... Die kürzeste Gesamtzeit beträgt:129.099 sekunden.
@wishmoep
würdest die konstanz weglassen dann bräuchtest du keine Extremwert berechnung.
Es gibt nur ein tB das dir die schnellste Gesamtzeit liefert ...und das kannsd du direkt ausrechnen. da brauchst du keine Extremwertberechnung . Es ergibt sich aus dem Fall so lange wie möglich beschleunigung und so spät wie möglich bremsen.
!!

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3252

Naja da hab ich ja wiedermal nen Blödsinn berechnet, jetzt versteh ich erst die Angabe der Zug kann mit 0,2 m/s² Beschleunigen muß aber nicht und er kann mit 1m/s² bremsen muß aber nicht...auch geringe beschleunigungen sind möglich