Bitte Kritik von Schülern - Hand Out Rotationskörper

Herbststurm · Anmeldungsdatum: 05.09.2008 Beiträge: 412 Wohnort: Freiburg i. Brsg.

Hallo,

weil es mir Spaß macht mich damit zu beschäftigen und ich ein Kapitalist bin (aber ein netter :-)) habe ich in Zeitung und Schulen Nachhilfe-Angebote geschalten und gebe absofort Nachhilfe an Schüler und an Erstsemester in Mathematik und Physik. Dabei handhabe ich das so, dass ich nichts auf diskrete Zeitintervalle gebe, sondern sage ein Thema kostet 20 Euro und ihr bekommt solange Unterstützung bis ihr es könnt. Da haben sich jetzt ein paar gemeldet und am Montag werde ich einem 12. Klässer etwas über Integrale und Rotationsvolumen erzählen. Ich habe mir vorgenommen zu jeder Nachhilfe-Einheit ein ausführliches Handout zu erstellen, damit die Leute etwas kompaktes und sinnvolles nach der Einheit in den Händen haben um das was sie eben lernten nochmals Revue passieren zu lassen und zum lernen/wiederholen für Klausuren. Dummerweise ist es so, dass ich durch das Studium, vielleicht auch wegen meiner Liebe zur reinen Theorie etwas geschädigt bin die Dinge auf praktischem Niveau zu halten und daher die Bitte ganz besonders an die Schüler hier:

Wie findet ihr meine folgende Zusammenfassung zum Thema Rotationsvolumen?

Würdet ihr damit auf Klausuren, oder gar dem Abi lernen und wiederholen oder eher nicht?

Wenn nicht, weshalb nicht?

Ich wäre für Hilfe sehr verbunden. Mir ist wichtig, dass wenn ich Leuten Helfe, dass sie dann auch wirklich etwas davon haben. Ich fände es geil einen kleinen Beitrag dazu leisten zu können, damit Sprüche wie "Mit Mathebüchern kann man mich jagen", oder "Physik habe ich nie kapiert" ausstreben. In den Worten meiner Lieblings-Bundeskanzlerin (Auch wenn ich die meisten Leute, abgesehen von der Angela und ein paar sehr wenigen anderen in Berlin absolut nicht leiden kann! Absoluter derzeitiger Politik-Feind) "Du kannst mehr Mathe als du denkst!"

Zum Handout:

Rotationskörper - Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen)

Rotationskörper entstehen durch Drehung einer ebenen Kurve um eine in der Kurvenebene liegende Achse. In der Schule wird i.d.R. ausschließlich die Rotation um die x-Achse im kartesischen Koordinatensystem untersucht. Da dies ein Hand Out für die Oberstufe in Mathematik sein soll, wird nur die Rotation um die x-Achse anschaulich behandelt.

Wichtige Anwendung, besser gesagt: Wozu das Ganze? In erster Linie um Volumen zu bestimmen. Berühmtestes Beispiel und Vater der Theorie: Kepler'sche Fassregel zur Bestimmung des Volumen eines Weinfasses, oder wieviel Flüssigkeit bekommt man in ein geschwungenes Glas?

Rotation einer Kurve um die x-Achse

Die über dem Intervall

gelegene Kurve mit der Funktionsgleichung

erzeuge bei Rotation um die x-Achse einen Rotationskörper.

http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/RP_Analysis1/K8_Volumen/sv74b74c.gif

Dieser wird jetzt durch Schnitte senkrecht zur Drehachse in eine große Zahl n von Scheiben gleicher Dicke

zerlegt. Davon sieht man sich nun eine beliebige Scheibe an. Hier grau unterlegt.

http://farm4.static.flickr.com/3240/3105158523_79dcf6e2ac_o.jpg

Man sieht sofort, dass alle n Scheiben Zylinder mit verschiedenen Radien

, aber gleicher Höhe

sind. Ein Zylinder, welcher im Mittelpunkt die x-Achse bestitzt kann ich als Rotation eines Rechteckes um die x-Achse auffassen. Das Volumen einer solchen Zylinderscheibe ist wie bekannt Grundfläche mal Höhe und aufgrund der Symetrie ist die Grundfläche immer ein Kreis. Also

http://farm4.static.flickr.com/3076/3105991028_9e7012a6c5_o.jpg

Der Radius ist y, deswegen y zum Quadrat und die Höhe ist Delta x.

Genauso verfährt man mit allen anderen Scheiben. Da die Rechtecke allerdings bei zu breiten Delta x zu ungenau sind, nimmt man einen Grenzwert indem man die Anzahl der Scheiben gegen Unendlich laufen lässt, damit werden die Abstände, also die Höhe der Zylinder immer kleiner und man erhält die Integralformel:

Tiefere Details sind zu finden im Papula Mathematik für Naturwissenschaftler, oder Weltner Mathematik für Physiker.

wishmoep · Anmeldungsdatum: 07.09.2008 Beiträge: 1342 Wohnort: Düren, NRW

Hallo zurück,

mir ist so etwas bis jetzt in meinem 12er Mathe/Physik LK noch nicht vor die Gucklinsen gekommen, aber dennoch habe ich es beim Überfliegen verstanden.

Vielleicht solltest du aber nicht einfach direkt das Integral hinklatschen, sondern noch etwas in der Art:

Damit direkt der Zusammenhang über Summe und Integral ersichtlich ist.
Mir und dir ist er wohl ersichtlich. Nur um einfach einmal vorzubeugen Augenzwinkern

.

Damit dass du auf die Ungenauigkeit von Ober- / Untersumme bei zu kleinem n hinweist bin ich einverstanden, obwohl das bei schon vertiefter Integralrechnung bzw. physikalischer Integralrechnung irgendwann Platzraubend ist Augenzwinkern

.

Und noch ein Schlusswort: Die Verweise auf die Bücher sind gut, nur ob da ein Schüler die suchen wird... fraglich. smile

Sonst gute Arbeit Thumbs up!

P.S. + Edit zur Politik: Helmut Schmidt wird 90 und ist somit wohl ein Segen für die große Tabakindustrie Big Laugh