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-Christian-
Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199
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 -Christian- Verfasst am: 11. Dez 2008 20:31 Titel: Bestimmen von Gleichgewichtslagen |
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Hallo!
Ich sitze gerade an einer Reihe von Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Gleichgewichtslagen geht, die ich bis morgen gelöst haben muss.
Leider habe ich bis jetzt nicht begriffen, wie ich solch ein Problem von der mathematischen Herangehensweise her löse. Wäre nett, wenn mir einer vobn euch mal bei einer der Aufgaben helfen könnte ...
| Zitat: | 1) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich eindimensional unter dem Einfluß der Kraft:
 = ax-bx^{3} , b > 0)
Bestimmen Sie die getrennt für die Fälle a < 0 und a > 0 die Gleichgewichtslagen der Bewegung. Bestimmen Sie gegebenfalls die Frequenz für kleine Schwingungen um diese Gleichgewichtslagen. |
Ich weiß, dass es sich hier mit einer Linearisierung herangehen muss und sich F(x) dann durch die Reihenentwicklung an  (Gleichgewichtslagen) dann ergibt zu:
 = F(x_{0}) + F'(x_{0})(x-x_{0}))
Und da es sich um eine Gleichgewichtslage handelt ist F(x_{0}) = 0, also:
 = m \ddot{x} = (a-3bx_{0}^2)(x-x_{0}))
Und wenn ich mir dann definiere:
 = \xi)
Dann erhalte ich die DGL:
 \cdot \xi)
Ab hier komme ich dann nicht weiter. Löse ich die DGL einfach? Und für was löse ich Sie? Suche ich letztendlich nach allen Zeitpunkten in denen ) eine Gleichgewichtslage hat oder suche ich nach einem Ausruck für
Wahrscheinlich ist die Aufgabe gar nicht so schwer ... aber ich stehe auf dem Schlauch, denke ich.
Vielen Dank für (hoffentlich schnelle) Hilfe!
Grüße
Christian
Zuletzt bearbeitet von -Christian- am 11. Dez 2008 22:16, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 11. Dez 2008 21:04 Titel: Re: Bestimmen von Gleichgewichtslagen |
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| -Christian- hat Folgendes geschrieben: | Und wenn ich mir dann definiere:
Dann erhalte ich die DGL:
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Wie kommst du dann auf diese DGL?
Ziel der Linearisierung ist es, die Kraft auf eine Form zu bringen die aussieht wieMan will die Kraft also um eine Gleichgewichtslage linearisieren. Hat die Kraft diese Form, bekommt man als Bewegungsgleichung:
Warum ist das günstig? Weil die das die bekannte Schwingungsgleichung ist, deren Lösung man kennt, und aus der man direkt die Kreisfrequenz kleiner Schwigungen um die Gleichgewichtslage ablesen kann.
Woran hängt es bei dir noch genau? Oder reicht das schon als Hinweis?
Es ist ersichtlich, dass dies nur bei stabilen Gleichgewichtslagen funktionieren kann. Hast du schon bestimmt, welche Positionen überhaupt stabil sind?
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-Christian-
Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199
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| -Christian- Verfasst am: 11. Dez 2008 21:34 Titel: Re: Bestimmen von Gleichgewichtslagen |
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| para hat Folgendes geschrieben: |
Wie kommst du dann auf diese DGL?
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Ich meinte natürlich:
 \cdot \xi)
Das ist ja auch die Bedingung, die du schreibst und wir hatten das ja soweit auch in der Vorlesung. Hier gilt also:
)
Die Lösung der DGL muss hergeleitet werden. Die allgemeine Lösung ist ja:
 + C_{2} \cdot sin(\omega \cdot t) )
Für die gegebene Beziehung also:
}{m}} \cdot t) + C_{2} \cdot sin(\sqrt{- \frac{(a-3bx_{0}^2)}{m}} \cdot t) )
Mein Problem: Wie kann ich hieraus jetzt überhaupt erstmal die Gleichgewichtslagen bestimmen?
| para hat Folgendes geschrieben: |
Weil die das die bekannte Schwingungsgleichung ist, deren Lösung man kennt, und aus der man direkt die Kreisfrequenz kleiner Schwigungen um die Gleichgewichtslage ablesen kann.
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Und wie kann ich aus der allgemeinen Gleichung die Frequenz für kleine Schwingungen ablesen? Einfach  ?
Gruß
Christian |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 11. Dez 2008 21:52 Titel: Re: Bestimmen von Gleichgewichtslagen |
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| -Christian- hat Folgendes geschrieben: | | Mein Problem: Wie kann ich hieraus jetzt überhaupt erstmal die Gleichgewichtslagen bestimmen? |
Die Gleichgewichtslagen bestimmt man wohl am besten, indem man sich das Kraftfeld selbst ansieht. Was gilt denn in Gleichgewichtslagen? Was kennzeichnet dann stabile und labile Gleichgewichte?
| -Christian- hat Folgendes geschrieben: | | Und wie kann ich aus der allgemeinen Gleichung die Frequenz für kleine Schwingungen ablesen? Einfach ? |
Okay, ablesen kann man sie natürlich nur, wenn man die Lösung kennt (und voraussetzen darf). Ansonsten weiß ich nicht, was genau von euch bei "Herleiten" verlangt wird. Aber wenn du deine allgemeine Lösung in die DGL einsetzt, siehst du ja, dass diese tatsächlich deine DGL löst, und zwar genau dann, wenn Omega so gewählt ist wie angedeutet.
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-Christian-
Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199
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| -Christian- Verfasst am: 11. Dez 2008 22:14 Titel: |
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Um die Gleichgewichtslagen zu errechnen, brauche ich die DGL gar nicht, oder?
Die Kriterien sind ja ganz einfach:
 = 0, F'(x_{0}) < 0)
Für eine stabile Gleichgewichtslage (und F'(x_0) > 0 für eine labile)
Also ergibt sich:
 = 0 = a \cdot x_{0} - b \cdot x_{0}^3)
)
Es sind meine Gleichgewichtslagen also:
Für alle a > 0 ist x dann eine Gleichgewichtslage. Für a < 0 gibt es nur komplexe Lösungen, die physikalisch keine Relevanz haben. (b > 0, ist schon in der Aufgabenstellung vorrausgesetzt)
Wegen
 = a > 0)
gibt es an der Stelle 0 eine labile Gleichgewichtslage und an allen anderen Stellen wegen
 = -2a < 0)
stabile Gleichgewichtslagen.
Einverstanden?
Da habe ich mich echt ziemlich dumm angestellt ... 
Gruß
Christian
Zuletzt bearbeitet von -Christian- am 11. Dez 2008 23:26, insgesamt einmal bearbeitet |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
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| para Verfasst am: 11. Dez 2008 22:49 Titel: |
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Die Vorzeichen in deinem Kraftgesetz haben sich auf einmal geändert. 
Das hat natürlich Auswirkungen auf deine Gleichgewichtslagen und deren Stabilität. Aber die grundsätzlichen Überlegungen sehen gut aus.
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-Christian-
Anmeldungsdatum: 08.07.2006
Beiträge: 199
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| -Christian- Verfasst am: 11. Dez 2008 23:31 Titel: |
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| para hat Folgendes geschrieben: | Die Vorzeichen in deinem Kraftgesetz haben sich auf einmal geändert.
Das hat natürlich Auswirkungen auf deine Gleichgewichtslagen und deren Stabilität. Aber die grundsätzlichen Überlegungen sehen gut aus. |
Die Vorzeichenänderung war ein Konzentrationsfehler, also grober Unfug. Habe es oben mal korrigiert.
Es gibt also an der Stelle x = 0 ein labiles Gleichgewicht und an allen anderen stabile Gleichgewichtslagen.
Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Habe da offensichtlich Probleme gesucht, die es gar nicht gab ... 
Gruß
Christian |
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