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Fragen zu konservativen Feldern
 
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Ultima



Anmeldungsdatum: 15.04.2005
Beiträge: 151

Beitrag Ultima Verfasst am: 25. Sep 2008 16:38    Titel: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

Guten Tag,

ich bereite mich gerade auf eine mündliche Prüfung in Mechanik vor und habe hier etliche Protokolle liegen. Ein paar Fragen, wollen mir aber nicht so richtig von der Hand gehen, deshalb wäre es nett, wenn ihr mit dabei behilflich sein könntet.

1) Was ist ein konservatives Feld? Bedingungen?

2) Warum kann man aus dem Potential eine Kraft berechnen, wenn es sich um ein konservatives Feld handelt?

3) Warum ist das Integral bei einem konservativen Feld wegunabhängig?

4) Was unterscheidet ein Skalarfeld von einem Vektorfeld?

5) Warum ist ein Potentialfeld rotationsfrei?

Im skript finde ich leider keine genauen Angaben, deshalb wäre ich euch sehr dankbar für Raschläge.

Gruß
Zepto



Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323

Beitrag Zepto Verfasst am: 25. Sep 2008 17:48    Titel: Re: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

Ich studiere zwar (noch) nicht, aber ich probiers mal:
Ultima hat Folgendes geschrieben:

1) Was ist ein konservatives Feld? Bedingungen?

wikipedia
Ultima hat Folgendes geschrieben:

2) Warum kann man aus dem Potential eine Kraft berechnen, wenn es sich um ein konservatives Feld handelt?

Die Kraft ist ja der Gradient, also praktisch die Steigung.
Je größer der potentialunterschied bei gleichem weg, umso größer ist die Arbeit und damit auch die Kraft.
Du kannst dir das gut an einem Berg klar machen:
An jedem bestimmten Punkt des Berges hat ein Körper eine bestimmte potentielle Energie. (Skalarfeld)
Jetzt wirkt an diesem Punkt aber auch eine Kraft (Hangabtriebskraft, Vektorfeld) auf diesen Körper, je nachdem, wie steil (Gradient) der Berg (das Potentialfeld) an der Stelle gerade ist.
Ultima hat Folgendes geschrieben:

3) Warum ist das Integral bei einem konservativen Feld wegunabhängig?

Du meinst hier bestimmt die Arbeit. Es macht ja energetisch keinen Unterschied, ob man einen langen Weg mit geringer Kraft zurücklegt, oder einen kurzen mit sehr großer. Außerdem kann zwischendurch immer wieder "kinetische" Energie in potentielle umgewandelt werden, da in einem konservativen Kraftfeld keine Reibung oder so berücksichtigt wird.
Das Potential ist die potentielle Energie. Dabei macht es keinen Unterscheid, ob man die in vielen kleinen Schritten irgendwohin oder in einem großen abbaut, wenn man nur am gleichen endpunkt landet. Man bekommt die gleiche Energiedifferenz.
Ultima hat Folgendes geschrieben:

4) Was unterscheidet ein Skalarfeld von einem Vektorfeld?

Naja, also ein Skalarfeld gibt an einem bestimmten Punkt immer einen skalaren Wert, also eine ungerichtete Größe, zurück (z.B.: potentielle Energie, Temperatur)
Ein Vektorfeld hat als Ergebnis an einem bestimmten Punkt einen Vektor (Kraft, magnetisches feld)
Ultima hat Folgendes geschrieben:

5) Warum ist ein Potentialfeld rotationsfrei?

Kann sein das ich mich irre, aber von dem Potentialfeld kann man doch gar keine Rotation bestimmen, da es ein skalares Feld ist und man es demnach nicht mit dem Nabla-Vektor "kreuzen" kann, oder? Meinst du dass das durch das Potentialfeld entstehende Kraftfeld rotationsfrei ist?

Gruß
Zepto
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien

Beitrag schnudl Verfasst am: 25. Sep 2008 19:34    Titel: Re: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

Zepto hat Folgendes geschrieben:

5) Warum ist ein Potentialfeld rotationsfrei?

Kann sein das ich mich irre, aber von dem Potentialfeld kann man doch gar keine Rotation bestimmen, da es ein skalares Feld ist und man es demnach nicht mit dem Nabla-Vektor "kreuzen" kann, oder? Meinst du dass das durch das Potentialfeld entstehende Kraftfeld rotationsfrei ist?


Ein Potenzialfeld ist ein Vektorfeld, welches sich als Gradient eines (skalaren) Potenzials darstellen lässt (zB elektrostatisches Feld). Gleichzeitig hat so ein Feld verschwindende Rotation, woraus auch unmittelbar die Wegunabhängigkeit folgt. Um dies zu zeigen musst du beweisen dass


_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
Ultima



Anmeldungsdatum: 15.04.2005
Beiträge: 151

Beitrag Ultima Verfasst am: 26. Sep 2008 08:51    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für euere Antworten, damit kann ich mich nun besser auf solche Fragen einstellen, wenn sie denn kommen. Das Hauptaugenmerk muss man nämlich eher auf die Lagrange-Mechanik und Hamilton-Mechanik legen.
Herbststurm



Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
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Beitrag Herbststurm Verfasst am: 26. Sep 2008 15:31    Titel: Re: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

Zepto hat Folgendes geschrieben:
Ich studiere zwar (noch) nicht, aber ich probiers mal:


Wenn du erst noch mit dem Studieren anfangen willst und das schon im Vorraus verstehst, finde ich das sehr beachtlich. Thumbs up!

Beim Thema könnte man evtl. noch hinzufügen, dass es in diesem Kontext Sinn macht im konservativen Fall mal die totale Ableitung der Gesamtenergie anzusehen. Da lässt sich leicht zeigen, dass die Gesamtenergie nur dann in der Zeit konstant ist, wenn sich die Kraft eben als negativer Gradient des skalaren Potentials schreiben lässt.

Gruß
wishmoep



Anmeldungsdatum: 07.09.2008
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Beitrag wishmoep Verfasst am: 26. Sep 2008 15:45    Titel: Re: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

Herbststurm hat Folgendes geschrieben:
[...]im konservativen Fall mal die totale Ableitung der Gesamtenergie anzusehen. Da lässt sich leicht zeigen, dass die Gesamtenergie nur dann in der Zeit konstant ist, wenn sich die Kraft eben als negativer Gradient des skalaren Potentials schreiben lässt[...]


Ich versuche es auch mal als nicht-Student zu verstehen :-D


So? smile
und als totale Abeleitung der Energie


Oder Einwände? Big Laugh
Zepto



Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323

Beitrag Zepto Verfasst am: 26. Sep 2008 20:15    Titel: Re: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

Danke.
Dementsprechend ist ein Potential und ein Potentialfeld also nicht das gleiche. Gut zu wissen.
wishmoep hat Folgendes geschrieben:
Herbststurm hat Folgendes geschrieben:
[...]im konservativen Fall mal die totale Ableitung der Gesamtenergie anzusehen. Da lässt sich leicht zeigen, dass die Gesamtenergie nur dann in der Zeit konstant ist, wenn sich die Kraft eben als negativer Gradient des skalaren Potentials schreiben lässt[...]


Ich versuche es auch mal als nicht-Student zu verstehen :-D


So? smile
und als totale Abeleitung der Energie


Oder Einwände? Big Laugh

Das verstehe ich wiederum nicht so richtig. grübelnd
Meint herbststurm, dass die Energie eines teilchens in dem potential nur dann zeitunabhängig ist, wenn die Kraft aus dem teilchen unmittelbar aus dem Gradient des Potentials folgt?
Dann würde ich hier das Beispiel eines Autos heranziehen, das auf einem Berg steht, und auf das zusätzlich zu der Hangabtriebskraft eine Kraft wirkt, die von der Zeit abhängt (Motor->Räder->Straße).
Dann ist natürlich klar, dass die Kraft auf das Auto nun nicht mehr


ist, sondern:


Damit ist natürlich die Energie des Autos nicht mehr nur vom Potential , beziehungsweise vom Gradient des Potentials abhängig, sondern auch von der durch die zeitabhängigen Kraft zugeführten Energie.
Daher ist die Gesamtenergie dann zeitlich nicht konstant.
War das so gemeint?

Gruß
Zepto
wishmoep



Anmeldungsdatum: 07.09.2008
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Beitrag wishmoep Verfasst am: 26. Sep 2008 21:03    Titel: Antworten mit Zitat

Zepto hat Folgendes geschrieben:
Meint herbststurm, dass die Energie eines teilchens in dem potential nur dann zeitunabhängig ist, wenn die Kraft aus dem teilchen unmittelbar aus dem Gradient des Potentials folgt?


Nun ja, wenn ich z.B. einen Motor habe, wie du als Beispiel heranziehst, dann habe ich doch trotzdem die "maximale" Energie gegeben; Kraftstoff als Speicher der chem. Energie etc.
Die Energie/Arbeit, die vom Motor ausgeht, kommt ja nicht aus dem "nichts". grübelnd

Wobei mir gerade eingefallen wäre: Beispiel Motor/Kraftstoff - der ist ja auch nicht unbegrenzt vorhanden :-D
Zepto



Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323

Beitrag Zepto Verfasst am: 26. Sep 2008 21:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das ist ja klar.Augenzwinkern
Ich habe Herbsturm nur so verstanden, dass es eine vom Potential unabhängige (zeitabhängige) Kraft geben muss, damit die Energie ebenfalls zeitabhängig ist.
Die Motorkraft/Energie wäre ja nicht abhängig von der Höhe des Berges, also des Potentials.
Dass der Tank irgendwann leer ist bestätigt nur die Zeitabhängigkeit dieser Kraft. Big Laugh
@Herbststurm: Wäre gut, wenn du nochmal genauer sagen könntest, was du gemeint hast.

Gruß
Zepto
Herbststurm



Anmeldungsdatum: 05.09.2008
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Beitrag Herbststurm Verfasst am: 26. Sep 2008 22:53    Titel: Antworten mit Zitat

Huch geschockt

Hier mal ein guter link zu einem sehr guten inoffiziellen Skript. Blätter da mal, wenn du interesse hast auf die Seite sieben und acht. smile

http://physik-diplom.de.tl/Theoretical-Physics-II.htm

Hoffe nun ist klar was ich meinte.

Gruß
wishmoep



Anmeldungsdatum: 07.09.2008
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Beitrag wishmoep Verfasst am: 26. Sep 2008 23:06    Titel: Antworten mit Zitat

Herbststurm hat Folgendes geschrieben:
Huch geschockt


Wir sind halt keien Big-SuperFast-Brains LOL Hammer .

Scheint mir auf die Schnelle schlüssig... hab das Skript auch letzens schon heruntergeladen... bei Zeiten mal genauer durchgucken die Seite 7 smile
Herbststurm



Anmeldungsdatum: 05.09.2008
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Beitrag Herbststurm Verfasst am: 26. Sep 2008 23:11    Titel: Antworten mit Zitat

wishmoep hat Folgendes geschrieben:


Wir sind halt keien Big-SuperFast-Brains LOL Hammer .



So war das auch absolut nicht gemeint. Ich wäre echt glücklich gewesen, wenn ich zu Schulzeiten bereits soviel über Physik gewusst hätte Thumbs up! Das ist echt toll.

wishmoep hat Folgendes geschrieben:
bei Zeiten mal genauer durchgucken


Kann ich nur empfehlen. Das Skript rockt sehr. Allerdings muss man dazu sagen, dass es eigentlich nur eine Kurzform vom Marion/Thornton ist. Meiner Meinung nach eines der besten Bücher zur Mechanik die es überhaupt gibt. Extrem tolle Literatur, aber leider recht teuer, aber jeden Cent wert!

Gruß
Zepto



Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323

Beitrag Zepto Verfasst am: 26. Sep 2008 23:23    Titel: Antworten mit Zitat

Ach so.
da lag ich ja gar nicht soooo falsch mit meiner Betrachtung. Big Laugh
Die Umformung auf Seite 8 oben ist das was du meintest, nich?
Ich wäre wahrscheinlich jetzt gerade nie auf die Idee gekommen das Potential-Diffential so zu "verkomplizieren", dass ich am Ende den Gradienten da stehen habe.
Genial!
Dann fällt weg, weil es gleich ist und sich damit mit aufhebt.

Schließlich weiß man dann, dass die Energieänderung pro Zeit der Potentialänderung pro Zeit entspricht und das heißt dann, dass ,wenn die Potentialänderung pro Zeit 0 ist (das Potential also Zeitunabhängig ist), die Energieänderung pro Zeit auch 0 ist.
Richtig so?
Werde gleich noch ein bisschen weiterlesen. Big Laugh

Gruß
Zepto
wishmoep



Anmeldungsdatum: 07.09.2008
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Beitrag wishmoep Verfasst am: 27. Sep 2008 17:40    Titel: Antworten mit Zitat

Zepto hat Folgendes geschrieben:
Schließlich weiß man dann, dass die Energieänderung pro Zeit der Potentialänderung pro Zeit entspricht und das heißt dann, dass ,wenn die Potentialänderung pro Zeit 0 ist (das Potential also Zeitunabhängig ist), die Energieänderung pro Zeit auch 0 ist.
Richtig so?


Die "Abhängigkeit der Energie von der Zeit" wurde doch per Äquivalenzumformungen "rübergezogen".

Und dann (der "Strich" über dem r sollte eigentlich ein Vektorpfeil sein :-|).

Nicht? Big Laugh
Zepto



Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323

Beitrag Zepto Verfasst am: 28. Sep 2008 19:13    Titel: Antworten mit Zitat

Hmm, ne.
Ich hab das so verstanden:



Jetzt nach der Zeit ableiten:



Mitte der Seite 7 wurde gezeigt, dass gilt:


Außerdem kann man das totale Differential anders schreiben, sodass:



wobei sozusagen die partiellen differentiale in alle n Raumrichtungen sind und
das partielle differential für die möglicherweise vorhandene Zeitabhängigkeit ist.

Jetzt kann man aber sehen, dass diese ganzen Raumableitungen dem Gradienten entsprechen, da der Nabla Vektor nichts anderes tut als nach jeder Raumvariable abzuleiten. Außerdem entsprechen die ganzen addierten Raumvariablen dem Vektor Also:



Da aber , gilt nur noch:



Was bedeutet, dass sobald das Potential nicht von der Zeit abhängt, also die Ableitung gleich 0 ist, auch die Gesamtenergie nicht von der Zeit abhängt.

Richtig verstanden so?

Gruß
Zepto
Ultima



Anmeldungsdatum: 15.04.2005
Beiträge: 151

Beitrag Ultima Verfasst am: 28. Sep 2008 19:24    Titel: Re: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

Ultima hat Folgendes geschrieben:


3) Warum ist das Integral bei einem konservativen Feld wegunabhängig?

Gruß


Noch eine Kleinigkeit zu dieser Frage: Ich kann doch das mathematisch recht leicht mit dem HDI beweisen oder, weil ich ja einfach das konstervative Feld als Gradient eines Skalarfeldes darstellen kann und dann eben den HDI anwenden??? Danke
Ultima



Anmeldungsdatum: 15.04.2005
Beiträge: 151

Beitrag Ultima Verfasst am: 28. Sep 2008 19:29    Titel: Re: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:


Ein Potenzialfeld ist ein Vektorfeld, welches sich als Gradient eines (skalaren) Potenzials darstellen lässt (zB elektrostatisches Feld). Gleichzeitig hat so ein Feld verschwindende Rotation, woraus auch unmittelbar die Wegunabhängigkeit folgt. Um dies zu zeigen musst du beweisen dass



Oh, da habe ich jetzt noch eine wichtige Frage: Ich dachte immer alle Potentiale die z.b. im Landau - Mechanik vorkommen etc. sind alles Skalarfelder, aber das Potentialfeld dann ein Vektorfeld weil es der Gradient von z.B. U ist??? Habe ich das richtig verstanden? Komme mit den Begriffen Potentialfeld und Potential gerade durcheinander.
Zepto



Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323

Beitrag Zepto Verfasst am: 28. Sep 2008 19:44    Titel: Re: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

Ultima hat Folgendes geschrieben:

Oh, da habe ich jetzt noch eine wichtige Frage: Ich dachte immer alle Potentiale die z.b. im Landau - Mechanik vorkommen etc. sind alles Skalarfelder, aber das Potentialfeld dann ein Vektorfeld weil es der Gradient von z.B. U ist??? Habe ich das richtig verstanden? Komme mit den Begriffen Potentialfeld und Potential gerade durcheinander.


Ja, damit bin ich oben ja auch durcheinandergekommen.
Schnudl und wikipedia sagen:
Potentiale sind Skalarfelder
Potentialfelder sind Vektorfelder

Gruß
Zepto
wishmoep



Anmeldungsdatum: 07.09.2008
Beiträge: 1342
Wohnort: Düren, NRW

Beitrag wishmoep Verfasst am: 28. Sep 2008 20:09    Titel: Antworten mit Zitat

Ich nehme jetzt noch einmal Bezug auf deinen etwas längeren Beitrag von eben Zepto.

// Edit: Ne - schon gut :-D. Seite 7 mehr oder minder ganz am Anfang des "Themas", da wird dies für die kinetische hergeleitet ;-)
Herbststurm



Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.

Beitrag Herbststurm Verfasst am: 03. Okt 2008 11:13    Titel: Re: Fragen zu konservativen Feldern Antworten mit Zitat

Ultima hat Folgendes geschrieben:
Ultima hat Folgendes geschrieben:


3) Warum ist das Integral bei einem konservativen Feld wegunabhängig?

Gruß


Noch eine Kleinigkeit zu dieser Frage: Ich kann doch das mathematisch recht leicht mit dem HDI beweisen oder, weil ich ja einfach das konstervative Feld als Gradient eines Skalarfeldes darstellen kann und dann eben den HDI anwenden??? Danke


Unter anderem läuft es natürlich darauf hinaus, jedoch ist es bestimmt nicht elegant das so einfach hinzuschreiben. Sinvoller ist es zu argumentieren, dass es ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium existiert, die zum Beweis der Aussage führen.

Das ist dann natürlich HDI, Miterlwertsatz der Intergralrechnung und ganz wichtig der Cauchy Hauptwertsatz.
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